Financial Engineering

1. The Lognormal Property of Stock Prices

• Stock prices are modeled as lognormal random variables under the Black-Scholes-Merton framework.
• This means the logarithm of the stock price follows a normal distribution.

2. Key Definitions and Properties

3. Lognormal Model of Stock Prices

• The stock price evolves according to the Geometric Brownian Motion (GBM):

  $$dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

  where $W_t$ is a standard Brownian motion.

• Solution to GBM:

  $$S_T = S_0 \exp\left( \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right) T + \sigma \sqrt{T} Z \right)$$

  with $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$.

• Therefore, $\ln S_T$ is normally distributed with mean $\ln S_0 + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right) T$ and variance $\sigma^2 T$.

4. Implications of Lognormality

• Since $S_T$ is lognormal, it is always positive, reflecting realistic stock price behavior.

• The expected value of $S_T$ under the risk-neutral measure is:

  $$\mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{rT}$$

• The variance of $S_T$ increases with time and volatility:

  $$\text{Var}(S_T) = S_0^2 e^{2rT} \left(e^{\sigma^2 T} - 1\right)$$

5. Practical Use in Option Pricing

• The lognormal assumption allows the use of the Black-Scholes formula for European options.

• The cumulative distribution function of the standard normal, $N(\cdot)$, is used to compute option prices.

• Key parameters in option pricing:

  $$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \frac{\sigma^2}{2}) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$$

• Call option price:

  $$C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$

• Put option price:

  $$P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)$$

À retenir : Le prix d'une action suit une loi lognormale, ce qui garantit sa positivité et permet d'appliquer le modèle de Black-Scholes pour le pricing des options.

1. Continuously Compounded Returns

Définition :
Le rendement continûment composé d’un actif entre deux dates $t$ et $t+\Delta t$ est défini par

$$r = \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right)$$

où $S_t$ est le prix de l’actif à la date $t$.

2. Propriétés clés

• Le rendement continûment composé est la logarithme du ratio des prix.
• Il permet de convertir la multiplication des prix en addition des rendements, ce qui simplifie l’analyse statistique et la modélisation.

3. Relation avec le rendement simple

Pour des petits rendements, $r \approx R$.

4. Avantages du rendement continûment composé

• Additivité dans le temps :
  Pour plusieurs périodes, les rendements continûment composés s’additionnent : $$r_{t_1 \to t_3} = r_{t_1 \to t_2} + r_{t_2 \to t_3}$$
• Modélisation plus naturelle :
  Les modèles financiers comme le modèle de Black–Scholes utilisent les rendements continûment composés car ils suivent souvent une distribution normale.

5. Utilisation en ingénierie financière

• Les rendements continûment composés sont la base pour modéliser les processus stochastiques des prix (ex : mouvement brownien géométrique).
• Ils facilitent la construction de modèles de prix d’options et d’actifs dérivés.

À retenir : Le rendement continûment composé est la logarithme du rapport des prix, ce qui rend les rendements additifs et facilite la modélisation financière.

1. Dérivation de l'équation différentielle de Black–Scholes–Merton

L'équation de Black–Scholes–Merton est une équation différentielle partielle fondamentale pour la valorisation des options financières. Elle décrit comment le prix d'une option évolue en fonction du temps et du prix du sous-jacent.

2. Hypothèses principales

• Le prix du sous-jacent $S_t$ suit un mouvement brownien géométrique :

  $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

  où $\mu$ est le taux de drift, $\sigma$ la volatilité, et $W_t$ un mouvement brownien standard.

• Le marché est sans arbitrage, frictionless (pas de coûts de transaction ni d'impôts).

• Il est possible de construire un portefeuille auto-financé composé du sous-jacent et de l'option.

• Le taux d'intérêt sans risque $r$ est constant.

3. Construction du portefeuille de réplication

On considère une option dont le prix à l'instant $t$ est $V(S_t, t)$, fonction du prix du sous-jacent $S_t$ et du temps $t$.

• On forme un portefeuille $\Pi$ composé de :
  • une position courte d'une option (valeur $-V$),
  • une position longue de $\Delta$ actions du sous-jacent (valeur $\Delta S$).

Le portefeuille vaut donc :

$$\Pi = \Delta S - V$$

4. Application du lemme d'Itô

Le prix de l'option évolue selon :

$$dV = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} (dS)^2$$

Avec $dS$ donné par le mouvement brownien géométrique, on a $(dW_t)^2 = dt$, donc :

$$(dS)^2 = \sigma^2 S^2 dt$$

5. Élimination du risque

Le changement de valeur du portefeuille est :

$$d\Pi = \Delta dS - dV$$

En substituant $dV$ et $dS$ :

$$d\Pi = \Delta (\mu S dt + \sigma S dW_t) - \left( \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt \right)$$

Pour éliminer le terme stochastique en $dW_t$, on choisit :

$$\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$$

Ainsi, le portefeuille devient sans risque sur un instant $dt$.

6. Rendement du portefeuille sans risque

Le portefeuille sans risque doit croître au taux sans risque $r$ :

$$d\Pi = r \Pi dt$$

En remplaçant $\Pi$ et $d\Pi$ :

$$\frac{\partial V}{\partial S} \mu S dt - \frac{\partial V}{\partial t} dt - \frac{\partial V}{\partial S} \mu S dt - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt = r \left( \frac{\partial V}{\partial S} S - V \right) dt$$

Simplification donne :

$$- \frac{\partial V}{\partial t} - \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = r \frac{\partial V}{\partial S} S - r V$$

7. Équation différentielle de Black–Scholes–Merton

En réarrangeant, on obtient l'équation fondamentale :

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0$$

8. Résumé des résultats clés

L'équation de Black–Scholes–Merton permet de calculer le prix d'une option en assurant qu'un portefeuille de réplication est sans risque et croît au taux sans risque.

1. Risk-Neutral Valuation

a) Définitions clés

• Option call : droit d'acheter un actif à un prix fixé (strike) avant ou à l'échéance.
• Option put : droit de vendre un actif à un prix fixé avant ou à l'échéance.
• Position longue (long) : acheteur d'une option ou d'un contrat.
• Position courte (short) : vendeur (ou writer) d'une option ou d'un contrat.
• Contrat d'option américain : exercice possible à tout moment jusqu'à l'échéance.
• Contrat d'option européen : exercice possible uniquement à l'échéance.

b) Propriétés des options

• Le prix d'un call diminue quand le strike augmente.
• Le prix d'un put augmente quand le strike augmente.
• La valeur des options augmente généralement avec la durée jusqu'à l'échéance.

c) Exemples de calculs de gains/pertes

• Achat d'un call avec strike $K$ à un prix $C$ sur 100 actions :

  • Coût total = $100 \times C$.
  • Gain si prix action à maturité $S_T > K$ : $(S_T - K) \times 100 - 100 \times C$.
  • Perte maximale = coût initial $100 \times C$ si $S_T \leq K$.

• Vente d'un put avec strike $K$ à un prix $P$ sur 100 actions :

  • Gain maximal = $100 \times P$ (prime reçue).
  • Perte si $S_T < K$ : $(K - S_T) \times 100 - 100 \times P$.

d) Types de participants sur les marchés d'options

e) Hedging (couverture)

• Contrats à terme (forwards/futures) : fixent un prix futur, neutralisant le risque.
• Options : offrent une assurance, limitant la perte tout en laissant un potentiel de gain.

Exemple : un investisseur possédant 1000 actions peut acheter des puts pour garantir un prix de vente minimum.

f) Spéculation

• Futures : effet de levier important, gains et pertes potentiellement illimités.
• Options : effet de levier avec perte maximale limitée à la prime payée.

Exemple : investir $2000 dans des options call peut générer un gain bien supérieur à l'achat direct des actions, mais la perte maximale est limitée à$2000.

g) Arbitrage

• Exploitation simultanée de différences de prix entre marchés ou instruments.
• Exemple : acheter une action sur un marché et la vendre sur un autre si le prix est plus élevé, profit sans risque.
• L'arbitrage tend à éliminer rapidement les écarts de prix.

h) Règle fondamentale

En absence d'opportunités d'arbitrage, les prix des dérivés sont cohérents avec ceux des actifs sous-jacents.

2. Formules essentielles

• Payoff call à maturité :
  $\max(S_T - K, 0)$

• Payoff put à maturité :
  $\max(K - S_T, 0)$

• Profit call acheteur :
  $\max(S_T - K, 0) - C$

• Profit put vendeur :
  $P - \max(K - S_T, 0)$

3. Points clés à retenir

• Les options permettent de limiter les pertes tout en conservant un potentiel de gain.
• Les contrats à terme fixent un prix futur, éliminant le risque mais sans possibilité de gain supplémentaire.
• Les marchés d'options sont très liquides grâce à la diversité des participants.
• L'effet de levier des dérivés amplifie les gains et les pertes.
• L'arbitrage assure la cohérence des prix entre marchés et instruments.

La valorisation des options repose sur l'hypothèse d'absence d'arbitrage et sur la notion de probabilité risque-neutre.

1. Formules de prix Black–Scholes–Merton

Le modèle Black–Scholes–Merton permet de calculer le prix théorique d'options européennes sur actions sans dividendes, en supposant que le prix de l'actif suit un mouvement brownien géométrique.

2. Hypothèses principales

• Le prix de l'actif sous-jacent $S_t$ suit une diffusion géométrique brownienne :

  $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

  avec $\mu$ le taux de croissance, $\sigma$ la volatilité, et $W_t$ un mouvement brownien standard.

• Pas d'arbitrage, marché frictionless, taux d'intérêt constant $r$.

• Option européenne exercée uniquement à l'échéance $T$.

3. Formule de prix d'une option d'achat (call) européenne

Le prix à l'instant $t$ d'un call européen de prix d'exercice $K$ et échéance $T$ est donné par :

$$C_t = S_t N(d_1) - K e^{-r(T - t)} N(d_2)$$

avec

$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_t}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T - t}$$

où $N(\cdot)$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

4. Formule de prix d'une option de vente (put) européenne

Le prix d'un put européen est :

$$P_t = K e^{-r(T - t)} N(-d_2) - S_t N(-d_1)$$

5. Interprétation des termes

• $S_t N(d_1)$ : valeur actuelle espérée du sous-jacent pondérée par la probabilité ajustée au risque que l'option soit exercée.

• $K e^{-r(T - t)} N(d_2)$ : valeur actualisée du paiement à l'échéance pondérée par la probabilité ajustée au risque.

6. Relation put-call (parité)

Pour une option européenne sans dividendes :

$$C_t - P_t = S_t - K e^{-r(T - t)}$$

7. Sensibilité des prix (Greeks) — à retenir

• Delta ($\Delta$) : sensibilité du prix de l'option au prix du sous-jacent.

  • Call : $\Delta = N(d_1)$

  • Put : $\Delta = N(d_1) - 1$

• Gamma ($\Gamma$) : sensibilité du delta au prix du sous-jacent.

  $$\Gamma = \frac{N'(d_1)}{S_t \sigma \sqrt{T - t}}$$

• Vega : sensibilité du prix de l'option à la volatilité.

• Theta : sensibilité du prix de l'option au temps.

• Rho : sensibilité du prix de l'option au taux d'intérêt.

8. Notions clés

• Le modèle suppose que les marchés sont efficients et que le prix du sous-jacent suit une dynamique log-normale.

• Le prix de l'option est une espérance sous la mesure risque-neutre.

• Le modèle ne s'applique qu'aux options européennes (exercice uniquement à l'échéance).

La formule Black–Scholes–Merton donne un prix explicite pour les options européennes, fondé sur la dynamique stochastique du sous-jacent et l'absence d'arbitrage.

1. Implied Volatilities

L'implied volatility (volatilité implicite) est la volatilité que l'on déduit du prix d'une option sur le marché, en supposant que le modèle de valorisation (comme Black-Scholes) est correct. Elle reflète les anticipations du marché sur la volatilité future de l'actif sous-jacent.

2. Définition

• Volatilité implicite : la valeur de la volatilité $\sigma$ qui, insérée dans la formule de valorisation d'une option, donne un prix égal au prix observé sur le marché.

3. Propriétés clés

4. Calcul de la volatilité implicite

1. On observe le prix de l'option sur le marché, noté $C_{market}$.
2. On fixe tous les paramètres du modèle (prix du sous-jacent $S$, taux sans risque $r$, temps à maturité $T$, strike $K$).
3. On cherche la volatilité $\sigma_{impl}$ telle que :

$$C_{BS}(S, K, r, T, \sigma_{impl}) = C_{market}$$

où $C_{BS}$ est le prix donné par le modèle de Black-Scholes.

5. Utilisation

• Gestion des risques : la volatilité implicite est utilisée pour évaluer le risque et fixer les prix des options.
• Comparaison avec la volatilité historique : une volatilité implicite plus élevée que la volatilité historique peut indiquer une anticipation de mouvements importants.
• Stratégies de trading : les traders exploitent les différences entre volatilité implicite et volatilité réalisée.

6. Remarques importantes

• La volatilité implicite n'est pas constante, elle dépend du strike et de la maturité.
• Elle ne prédit pas la volatilité future avec certitude, mais reflète les attentes du marché.
• La volatilité implicite peut être affectée par des facteurs de marché, comme la liquidité ou la demande pour certaines options.

À retenir : La volatilité implicite est la volatilité "invisible" que le marché intègre dans le prix des options, et elle est essentielle pour comprendre et valoriser les produits dérivés.

1. Options on Dividend-Paying Stocks

a) Impact of Dividends on Option Pricing

• Dividends reduce the stock price on the ex-dividend date, affecting option values.
• For European call options, dividends decrease the expected future stock price, thus lowering the call's value.
• For European put options, dividends increase the put's value because the stock price drop raises the likelihood the put finishes in-the-money.

b) Adjusted Stock Price for Dividend Payments

• When a known dividend $D$ is paid at time $t_d$ before option maturity $T$, the adjusted stock price used in option pricing is:

  $$S_0^* = S_0 - D e^{-r t_d}$$

  where:

  • $S_0$ = current stock price,
  • $r$ = risk-free interest rate,
  • $t_d$ = time until dividend payment.

• This adjustment reflects the present value of the dividend, reducing the effective stock price for option valuation.

c) Pricing Formulas with Dividends

• Use the adjusted stock price $S_0^*$ in the Black-Scholes formula to price European options on dividend-paying stocks.

• The call option price is:

  $$C = S_0^* N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$

• The put option price is:

  $$P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0^* N(-d_1)$$

• Where:

  $$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0^*}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$$

• $K$ = strike price, $T$ = time to maturity, $\sigma$ = volatility, $N(\cdot)$ = cumulative normal distribution.

d) Early Exercise Considerations for American Options

• American call options on dividend-paying stocks may be exercised early just before the ex-dividend date to capture the dividend.
• Early exercise is optimal if the dividend amount exceeds the time value of the option.
• For American put options, early exercise may also be optimal depending on interest rates and dividends.

e) Summary Table: Effects of Dividends on Options

À retenir : Pour les actions versant un dividende, on ajuste le prix de l'action en soustrayant la valeur actualisée du dividende pour évaluer les options, et l'exercice anticipé peut être optimal pour les options américaines.

1. Hedging with Futures Contracts

• Optimal hedge ratio minimizes risk by balancing spot and futures positions.

• Formula for minimum variance hedge ratio:

  $$h^* = \rho \frac{\sigma_S}{\sigma_F}$$

  where:

  • $\rho$ = correlation between spot and futures price changes,
  • $\sigma_S$ = standard deviation of spot price changes,
  • $\sigma_F$ = standard deviation of futures price changes.

• Interpretation: $h^*$ is the proportion of the exposure to hedge using futures.

2. Hedging a Portfolio with Futures

• Portfolio value: $V$, portfolio beta: $\beta$.

• Futures contract details: price $F$, contract size $Q$.

• Number of futures contracts to hedge portfolio:

  $$N = \frac{\beta V}{QF}$$

• To reduce beta from $\beta$ to $\beta^*$, adjust contracts:

  $$N = \frac{(\beta - \beta^*) V}{QF}$$

3. Choosing Futures Contracts for Hedging

4. Basis Risk and Hedge Effectiveness

• Basis = spot price - futures price.
• A perfect hedge does not always lock in the current spot price due to basis risk.
• Unexpected strengthening of basis benefits a short hedger; weakening harms it.

5. Foreign Exchange Hedging Strategy

• For exporters, hedge foreign currency receivables using currency futures or forwards.
• Strategy aims to lock in exchange rates to reduce uncertainty.
• Sell the strategy by emphasizing risk reduction and cash flow stability.

6. Hedge Ratio Impact on Implementation

• Hedge ratio less than 1 (e.g., 0.8) means partial hedge, reducing risk but not eliminating it.
• Hedge ratio greater than 1 (e.g., 1.5) implies over-hedging, which can increase risk if prices move unfavorably.

7. Statements on Hedge Ratios

• Minimum variance hedge ratio = 1.0 does not guarantee a perfect hedge due to basis risk.
• If no basis risk, minimum variance hedge ratio is 1.0 is true because spot and futures prices move perfectly together.

8. Attractiveness of Long Hedges

• When futures price < spot price, long hedges are attractive as futures are undervalued relative to spot.

9. Example: Hedging Live Cattle Purchase

• Spot price std dev: 1.2 cents/lb, futures std dev: 1.4 cents/lb, correlation: 0.7.

• Hedge ratio:

  $$h^* = 0.7 \times \frac{1.2}{1.4} \approx 0.6$$

• Number of contracts:

  $$N = \frac{0.6 \times 200,000}{40,000} = 3 \text{ contracts}$$

10. Hedging Production Risk vs. Price Risk

• Production risk (e.g., crop failure) is not hedged by futures.
• Farmers should estimate expected production and hedge price risk on expected output.

11. Hedging Stock with Index Futures

• Stock holding: 50,000 shares at $30, beta = 1.3.

• Futures contract: price 1,500, contract size $50 × index.

• Number of contracts:

  $$N = \frac{1.3 \times 50,000 \times 30}{50 \times 1,500} = 26$$

• Profitable if market moves opposite to hedge position.

12. Airline Executive’s View on Oil Futures

• Price uncertainty remains; futures hedge reduces risk but does not guarantee profit.
• Futures protect against adverse price moves, valuable for budgeting and risk management.

13. Forward Price of Gold (Example)

• Spot price $S_0 = 1200$, lease rate $l = 1.5\%$, risk-free rate $r = 5\%$, both compounded annually.

• Forward price for 1 year:

  $$F_0 = S_0 e^{(r - l) \times 1} = 1200 \times e^{0.035} \approx 1243.4$$

14. Capital Asset Pricing Model (CAPM)

• Expected return on asset:

  $$E(R_i) = R_F + \beta_i (E(R_M) - R_F)$$

  where:

  • $R_F$ = risk-free rate,
  • $E(R_M)$ = expected market return,
  • $\beta_i$ = asset’s beta (systematic risk measure).

• Beta interpretation:

  Beta ($\beta$)	Interpretation
  0	No market risk, return = risk-free rate
  0.5	Half market risk
  1	Same risk as market
  >1	More volatile than market

• Assumptions include investors caring only about mean and variance, single-period horizon, and identical expectations.

15. Summary of Key Formulas

À retenir : Le ratio de couverture optimal équilibre la réduction du risque et le coût de la couverture, et la gestion du risque systématique via le bêta est essentielle pour les portefeuilles diversifiés.

1. Basic Properties of Stock Options

• Stock options give the holder the right, but not the obligation, to buy (call option) or sell (put option) a stock at a specified price (strike price) before or at expiration.
• The value of an option depends on the stock price, strike price, time to expiration, volatility, interest rates, and dividends.

2. Key Properties of Call and Put Options

3. No-Arbitrage Bounds for European Options

• Call option price $C$ satisfies:
  $\max(0, S_0 - K e^{-rT}) \leq C \leq S_0$
• Put option price $P$ satisfies:
  $\max(0, K e^{-rT} - S_0) \leq P \leq K e^{-rT}$
• These bounds ensure no arbitrage opportunities exist.

4. Put-Call Parity (European Options)

For European options on non-dividend-paying stocks:
$C - P = S_0 - K e^{-rT}$

• This relation links the prices of calls and puts with the same strike price $K$ and expiration $T$.
• It allows the calculation of the price of one option if the other is known.

5. Early Exercise and American Options

• American call options on non-dividend-paying stocks are generally not exercised early because holding the option is more valuable.
• American put options may be exercised early if the stock price falls significantly below the strike price.
• Dividends can affect the optimal exercise strategy.

6. Option Value Sensitivities (The Greeks)

• Delta ($\Delta$): Sensitivity of option price to changes in stock price.
• Gamma ($\Gamma$): Sensitivity of delta to changes in stock price.
• Theta ($\Theta$): Sensitivity of option price to passage of time.
• Vega ($\nu$): Sensitivity of option price to volatility.
• Rho ($\rho$): Sensitivity of option price to interest rates.

7. Summary of Important Points

• Option prices depend on multiple factors including stock price, strike price, time, volatility, interest rates, and dividends.
• Put-call parity provides a fundamental relationship between call and put prices.
• No-arbitrage bounds restrict option prices to prevent riskless profit.
• American options can be more valuable than European options due to early exercise rights.
• The Greeks measure how option prices change with underlying parameters, essential for risk management.

À retenir :
Put-call parity is a fundamental formula linking call and put prices:
$C - P = S_0 - K e^{-rT}$
It ensures no arbitrage and helps price options consistently.

1. Forward Price for an Investment Asset Without Income

• For an asset with no income and no storage costs (e.g., non-dividend-paying stocks, zero-coupon bonds), the forward price $F_0$ is linked to the spot price $S_0$ by the formula:

  $$F_0 = S_0 e^{rT}$$

  where:

  • $r$ = risk-free interest rate (continuously compounded)
  • $T$ = time to maturity (in years)

• No-arbitrage condition: If $F_0 > S_0 e^{rT}$, arbitrageurs buy the asset and short the forward contract; if $F_0 < S_0 e^{rT}$, they short the asset and go long on the forward contract.

2. Forward Price for an Investment Asset With Known Income

• When the asset provides a known cash income with present value $I$ during the life of the contract, the forward price is:

  $$F_0 = (S_0 - I) e^{rT}$$

• Interpretation: The income reduces the effective cost of holding the asset.

3. Forward Price for an Investment Asset With Known Yield

• If the asset provides a known yield $q$ (continuously compounded), the forward price is:

  $$F_0 = S_0 e^{(r - q) T}$$

• The yield $q$ represents the average income rate on the asset during $T$.

4. Valuing Forward Contracts

• At inception, the forward contract has zero value: $f=0$ and delivery price $K = F_0$.

• At a later time, the value $f$ of a long forward contract with delivery price $K$ and time to maturity $T$ is:

  $$f = (F_0 - K) e^{-rT}$$

• Using this, the value of a long forward contract on:

  Asset Type	Forward Price $F_0$	Forward Contract Value $f$
  No income	$S_0 e^{rT}$	$S_0 - K e^{-rT}$
  Known cash income $I$	$(S_0 - I) e^{rT}$	$S_0 - I - K e^{-rT}$
  Known yield $q$	$S_0 e^{(r - q) T}$	$S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}$

5. Forward and Futures Prices Equality

• When the risk-free interest rate is constant, the forward price equals the futures price for the same delivery date.

• If interest rates vary unpredictably, futures prices may differ slightly due to daily settlement and correlation between asset price and interest rates.

6. Futures Prices of Stock Indices

• A stock index can be treated as an asset paying a known dividend yield $q$.

• The futures price on the index is:

  $$F_0 = S_0 e^{(r - q) T}$$

• Index arbitrage: If $F_0 \neq S_0 e^{(r - q) T}$, arbitrageurs buy/sell the underlying stocks and take opposite positions in futures to lock in riskless profits.

7. Forward and Futures Contracts on Currencies

• For a foreign currency with spot price $S_0$ (domestic currency per unit foreign currency), domestic risk-free rate $r$, and foreign risk-free rate $r_f$, the forward price is:

  $$F_0 = S_0 e^{(r - r_f) T}$$

• This is the interest rate parity condition ensuring no arbitrage between investing domestically or converting currency and investing abroad.

8. Summary of Key Formulas

| Forward Contract Value (Long Position) | $f = (F_0 - K) e^{-rT}$ |

À retenir : Le prix à terme d'un actif financier s'ajuste pour éliminer toute opportunité d'arbitrage, en tenant compte du coût de financement et des revenus (dividendes, coupons, rendement) liés à l'actif.

1. Binomial Trees : Modélisation des prix futurs

Un arbre binomial est un modèle discret utilisé pour représenter l'évolution possible du prix d'un actif sous-jacent à chaque instant jusqu'à la maturité d'un contrat à terme ou d'une option.

2. Paramètres clés

• $S_0$ : prix spot initial de l'actif.
• $T$ : durée jusqu'à la maturité.
• $r$ : taux d'intérêt sans risque (continu).
• $u$ : facteur de hausse du prix à chaque pas de temps.
• $d$ : facteur de baisse du prix à chaque pas de temps.
• $p$ : probabilité risque-neutre de hausse.

3. Construction de l'arbre

À chaque pas de temps, le prix peut évoluer selon deux scénarios :

avec $d < 1 < u$.

4. Probabilité risque-neutre

La probabilité $p$ est calculée pour que la valeur actualisée espérée du prix corresponde au prix actuel capitalisé au taux sans risque :

$$p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$$

où $\Delta t$ est la durée d'un pas.

5. Calcul du prix d'un contrat à terme (futures)

Le prix théorique d'un contrat à terme sur un actif sans revenu est donné par :

$$F_0 = S_0 e^{rT}$$

Si l'actif génère un rendement continu $q$ (dividendes, revenus), alors :

$$F_0 = S_0 e^{(r - q) T}$$

Si des coûts de stockage proportionnels $u$ s'appliquent, ils s'intègrent comme un rendement négatif :

$$F_0 = S_0 e^{(r + u - y) T}$$

où $y$ est le convenience yield (rendement de commodité), mesurant l'avantage à détenir physiquement l'actif.

6. Arbitrage et égalité des prix

• Si $F_0 > S_0 e^{(r + u) T}$, arbitrage possible en achetant l'actif et vendant le contrat à terme.
• Si $F_0 < S_0 e^{(r + u) T}$, arbitrage possible en vendant l'actif et achetant le contrat à terme.
• Pour les actifs de consommation, l'égalité peut ne pas tenir strictement à cause du convenience yield.

7. Coût de portage (cost of carry)

Défini comme :

$$c = r + u - q$$

• $r$ : coût de financement (taux sans risque).
• $u$ : coûts de stockage.
• $q$ : revenus générés par l'actif.

Le prix à terme s'écrit alors :

$$F_0 = S_0 e^{c T}$$

8. Relation entre prix à terme et prix spot attendu

• Si le rendement requis $k$ de l'actif est égal au taux sans risque $r$ (pas de risque systématique), alors :

$$F_0 = \mathbb{E}[S_T]$$

• Si $k > r$ (risque systématique positif), alors :

$$F_0 < \mathbb{E}[S_T]$$

• Si $k < r$ (risque systématique négatif), alors :

$$F_0 > \mathbb{E}[S_T]$$

9. Terminologie

À retenir : Le prix à terme d’un actif sans revenu est égal au prix spot capitalisé au taux sans risque, ajusté des coûts de portage et du convenience yield. Le modèle binomial permet de simuler l’évolution possible des prix et de calculer la valeur des contrats dérivés en absence d’arbitrage.

1. Processus de Wiener (Processus Brownien)

• Un processus de Wiener $(W_t)_{t \geq 0}$ est un processus stochastique caractérisé par :

  • $W_0 = 0$ presque sûrement.
  • Incréments indépendants : Pour $0 \leq s < t$, $W_t - W_s$ est indépendant de la filtration jusqu'à $s$.
  • Incréments stationnaires : $W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)$ (loi normale centrée de variance $t-s$).
  • Trajectoires continues presque sûrement.

• Le processus de Wiener modélise le mouvement brownien standard, base des modèles en finance pour représenter l'évolution aléatoire des prix.

2. Lemma d'Itô

• Soit $X_t$ un processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique (EDS) :

  $$dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t$$

  où $\mu_t$ et $\sigma_t$ sont des processus adaptés.

• Pour une fonction $f(t, x)$ de classe $C^{1,2}$ (une fois dérivable en $t$, deux fois en $x$), le lemme d'Itô donne la différentielle de $Y_t = f(t, X_t)$ :

  $$dY_t = \frac{\partial f}{\partial t}(t, X_t) dt + \frac{\partial f}{\partial x}(t, X_t) dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t, X_t) \sigma_t^2 dt$$

• En remplaçant $dX_t$ :

  $$dY_t = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right) dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dW_t$$

• Idée clé : contrairement au calcul différentiel classique, la présence du terme en $\frac{1}{2} \sigma_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dt$ est due à la variance non nulle des incréments de Wiener.

3. Propriétés importantes

4. Application en ingénierie financière

• Le processus de Wiener modélise l'évolution aléatoire des prix d'actifs financiers (ex : modèle de Black-Scholes).

• Le lemme d'Itô permet de calculer la dynamique d'une fonction de prix d'actif, essentielle pour la valorisation et la couverture des dérivés.

À retenir : Le lemme d'Itô est la règle fondamentale pour dériver la dynamique d'une fonction d'un processus stochastique à base de Wiener, en tenant compte de la variance des incréments.

1. Overnight Indexed Swaps (OIS)

• OIS: Swap exchanging a fixed interest rate for a floating rate based on realized overnight rates (e.g., SOFR).
• Fixed rate payer pays a fixed rate on a notional principal; floating rate payer pays the compounded overnight rate over the period.
• Payments typically quarterly; for swaps longer than one year, payments occur every three months.
• OIS rates are considered risk-free rates because overnight rates like SOFR have negligible credit risk.
• Difference with LIBOR swaps: LIBOR rates are known at the start of the period; OIS floating rates are known only at the end.

2. Example of OIS Cash Flows

• Net payment = Fixed payment - Floating payment; positive means fixed payer receives money.

3. Valuation and Zero Curve from OIS

• OIS initially has zero value; fixed rate (OIS rate) is set so that the swap is worth zero at inception.
• OIS rates define the risk-free zero curve:
  • Short maturities (≤1 year): direct zero rates.
  • Longer maturities: define par bonds; zero curve interpolated linearly.
• Example zero rates (continuous compounding):

4. Using Swaps to Transform Liabilities or Assets

• Transform floating-rate loan to fixed-rate loan:
  • Borrow floating + spread.
  • Enter swap paying fixed, receiving floating.
  • Net effect: fixed rate + spread.
• Transform fixed-rate loan to floating-rate loan:
  • Borrow fixed.
  • Enter swap paying floating, receiving fixed.
  • Net effect: floating + spread.
• Similarly for assets: swap can convert fixed-rate assets into floating-rate assets and vice versa.

5. Swap Market Quotes

• Bid: fixed rate paid by market maker (receives floating).
• Ask: fixed rate received by market maker (pays floating).
• Swap rate: average of bid and ask.

6. Day Count Conventions

• Floating rates like SOFR and LIBOR use actual/360 day count.
• Fixed rates often use actual/365 or 30/360.
• Payments are calculated as:

$$\text{Payment} = L \times R \times \frac{n}{d}$$

where $L$ = principal, $R$ = rate, $n$ = number of days, $d$ = denominator (360 or 365).

7. Valuation of Interest Rate Swaps

• A swap is a portfolio of Forward Rate Agreements (FRAs).
• Valuation steps:
  1. Calculate forward rates for unknown floating rates.
  2. Compute swap cash flows assuming floating rates equal forward rates.
  3. Discount cash flows at risk-free zero rates.
• Forward rates and zero rates can be derived from OIS or LIBOR swap curves.
• The fixed rate is chosen so that the initial swap value is zero.

8. Example of Swap Valuation

• Positive total means swap has positive value to the floating rate receiver.

9. How Swap Value Changes Over Time

• If term structure is upward sloping and fixed rate is received, early payments have negative value, later payments positive.
• Swap value tends to move towards zero as payments are made.
• The pattern reverses if the term structure is downward sloping or if fixed rate is paid.

10. Fixed-for-Fixed Currency Swaps

• Exchange fixed interest and principal payments in two different currencies.
• Principal amounts exchanged at start and end, usually at current exchange rates.
• Used to transform liabilities or assets from one currency to another.

a) Example: British Petroleum and Barclays

• BP pays fixed 3% in USD, receives fixed 4% in GBP.

11. Comparative Advantage in Swaps

• Companies may have comparative advantages borrowing in fixed or floating markets or in different currencies.
• Swaps allow each to borrow where cheaper and swap to desired rate/currency.
• Total gain from swap equals difference in spreads between fixed and floating markets or between currencies.

a) Interest Rate Swap Example

• BBBCorp has comparative advantage in floating; AAACorp in fixed.
• Swap can reduce borrowing costs for both.

b) Currency Swap Example

• General Electric borrows USD; Qantas borrows AUD.
• Swap transforms loans to desired currencies with cost savings.

12. Swap Market Organization

• Market makers provide bid and ask fixed rates.
• Swaps between financial institutions are often cleared through central counterparties (CCPs) with margin requirements.
• Nonfinancial companies may trade bilaterally with less collateral.

13. Confirmations and Conventions

• Swaps are documented via confirmations under ISDA Master Agreements.
• Business day conventions (e.g., following, modified following) and holiday calendars affect payment dates.
• Day count conventions affect payment amounts.

À retenir : Le taux fixe d'un swap est fixé pour que sa valeur initiale soit nulle; la valorisation repose sur les taux zéro sans risque dérivés des OIS et les taux forward calculés à partir de ces courbes.

1. Employee Stock Options (ESO) — Notions clés

Employee Stock Options (ESO) sont des options d'achat d'actions offertes aux employés, leur donnant le droit d'acheter des actions de leur entreprise à un prix fixé (prix d'exercice) pendant une période donnée.

2. Caractéristiques principales des ESO

3. Objectifs des ESO

• Motivation et fidélisation des employés en les associant à la performance de l'entreprise.
• Alignement des intérêts des employés avec ceux des actionnaires.
• Moyen de rémunération différée et incitative.

4. Évaluation des ESO

• Les ESO sont des options américaines ou européennes selon les modalités d'exercice.

• Leur valeur dépend de plusieurs facteurs :

  • Prix actuel de l'action ($S_0$)
  • Prix d'exercice ($K$)
  • Volatilité de l'action ($\sigma$)
  • Durée jusqu'à expiration ($T$)
  • Taux d'intérêt sans risque ($r$)
  • Dividendes attendus

• Modèles d'évaluation :

  • Modèle de Black-Scholes ajusté pour les ESO (prise en compte des restrictions d'exercice et de la non transférabilité).
  • Modèles binomiaux ou trinômiaux pour intégrer la possibilité d'exercice anticipé.

5. Particularités des ESO par rapport aux options classiques

6. Traitement comptable et fiscal

• Les ESO sont comptabilisées comme une charge de rémunération dans les comptes de l'entreprise.
• La valorisation doit refléter la juste valeur des options à la date d'octroi.
• Fiscalité variable selon les pays, souvent avantageuse pour les employés.

À retenir : Les Employee Stock Options sont des outils de rémunération incitative qui lient la rémunération des employés à la performance de l'entreprise, avec des caractéristiques spécifiques (vesting, non transférabilité) qui influencent leur valorisation et leur gestion.

1. Options on Stock Indices and Currencies

a) Options on Stock Indices

• Stock index options are options where the underlying asset is a stock market index (e.g., S&P 500).
• These options allow investors to speculate on or hedge against movements in the overall market rather than individual stocks.
• European-style options are common on indices, meaning they can only be exercised at maturity.
• The payoff of a call option on an index at maturity $T$ is:
  $\max(S_T - K, 0)$
  where $S_T$ is the index level at $T$, and $K$ is the strike price.
• Similarly, the payoff of a put option is:
  $\max(K - S_T, 0)$
• Index options are cash-settled because the underlying index cannot be physically delivered.

b) Options on Currencies

• Currency options give the right, but not the obligation, to buy or sell a currency at a specified exchange rate (strike price) on or before a specified date.
• They are used to hedge or speculate on exchange rate movements.
• Currency options can be European or American style.
• The payoff depends on the spot exchange rate $S_T$ at maturity and the strike price $K$:
  • Call option payoff:
    $\max(S_T - K, 0)$ (right to buy foreign currency)
  • Put option payoff:
    $\max(K - S_T, 0)$ (right to sell foreign currency)
• Currency options are often quoted in terms of the amount of foreign currency per unit of domestic currency or vice versa.

c) Key Pricing Considerations

d) Important Formulas

• Call option payoff:
  $\max(S_T - K, 0)$
• Put option payoff:
  $\max(K - S_T, 0)$

e) Practical Notes

• Since indices cannot be delivered, index options settle in cash equal to the difference between the index level and strike price.
• Currency options involve two interest rates (domestic and foreign), which affect option pricing through cost-of-carry models.
• Exchange rates are influenced by interest rate differentials, impacting the forward price used in option valuation.

À retenir : Les options sur indices boursiers et devises permettent de couvrir ou de spéculer sur des mouvements globaux de marché ou de taux de change, avec des payoffs basés sur la différence entre le prix à l’échéance et le prix d’exercice, et sont généralement réglées en espèces.

1. Futures Options and Black’s Model

a) Options vs. Futures and Swaps

• Options give the holder the right but not the obligation to buy/sell an asset at a specified price before or at expiration.
• Futures and swaps are obligations to transact at maturity or periodically.
• Unlike futures, swaps are not settled daily, so variation margin payments accrue interest (paid or received).
• For futures, daily settlement means variation margin belongs to the recipient without interest payments.

b) Funding Valuation Adjustments (FVA) and Margin Valuation Adjustments (MVA)

• FVA reflects the cost or benefit of funding uncollateralized derivative positions.
  • When a derivative has positive value, funding cost arises.
  • When negative, funding benefit arises.
  • FVA = Present value of expected funding cost (FCA) minus funding benefit (FBA).
• MVA quantifies the cost of funding initial margin required by CCPs or bilateral agreements.
• Both depend on the term structure of interest rates and the portfolio netting effects.

c) Funding Cost Debate

• Banks often use their average funding cost (e.g., fed funds rate + 120 bps) to calculate FVA and MVA.
• Financial economics argues funding cost should reflect the marginal cost of funding low-risk margin investments, close to the risk-free rate.
• Example: If interest on margin is fed funds - 20 bps and required return is fed funds + 10 bps, funding cost is 30 bps, not 120 bps.
• Two key arguments against using average funding cost:
  1. The bank benefits from credit spread due to possible default (DVA2 effect).
  2. Risk-free projects should be discounted at risk-free rate, not average funding cost.
• Using average costs can misprice low-risk projects and distort risk assessment.

d) Capital Valuation Adjustment (KVA)

• KVA charges for incremental capital requirements due to a derivatives transaction.
• Practitioners often require a fixed return on incremental equity capital (e.g., 15% p.a.).
• Financial economists argue the cost of capital should decrease as equity increases (marginal cost < average cost).
• The debate mirrors that of FVA/MVA: average vs. marginal capital costs.

e) Portfolio Effects and Calculation Issues

• XVAs require Monte Carlo simulations for expected exposures, funding costs, and capital requirements.
• Machine learning (e.g., neural networks) is increasingly used to speed up incremental XVA calculations.

À retenir : FVA, MVA, and KVA adjustments reflect funding and capital costs but should be based on marginal rather than average costs to align with financial theory.

2. Summary of Key Definitions and Formulas

3. Practical Implications

• FVA and MVA arise mainly from uncollateralized or partially collateralized trades.
• Interest on variation margin differs between swaps (interest paid/received) and futures (no interest).
• Initial margin requirements are increasing due to regulatory changes, raising MVA importance.
• KVA reflects the cost of holding regulatory capital against derivatives risk.
• Banks must carefully consider whether to use average or marginal costs in pricing and risk management.

4. References for Further Study

• Hull, J.C., and White, A. “The FVA Debate,” Risk, 2012.
• Andersen, L.B.G., Duffie, D., and Song, Y. “Funding Value Adjustments,” SSRN Working Paper.
• Gregory, J. The XVA Challenge, Wiley, 2015.
• Kenyon, C., and Green, A.D. (eds.) Landmarks in XVA, Risk Books, 2016.

This concise summary captures the essentials of futures options, funding and margin valuation adjustments, and the theoretical debates surrounding their calculation.

1. The Greek Letters

Les Greek Letters sont des mesures clés qui quantifient la sensibilité du prix d'une option aux différents facteurs de marché. Elles sont essentielles pour la gestion des risques et la couverture des positions en options.

2. Principales Greek Letters et leurs définitions

3. Interprétations clés

• Delta (Δ) :

  • Pour un call, $\Delta$ est positif (entre 0 et 1).
  • Pour un put, $\Delta$ est négatif (entre -1 et 0).
  • $\Delta$ indique la probabilité approximative que l'option soit exercée.

• Gamma (Γ) :

  • Toujours positif pour les options classiques.
  • Plus $\Gamma$ est élevé, plus $\Delta$ change rapidement avec le prix du sous-jacent.
  • Gamma est maximal lorsque l'option est "at the money".

• Theta (Θ) :

  • Généralement négatif, car la valeur temps diminue avec le temps.
  • Les options perdent de la valeur à mesure que la date d'expiration approche.

• Vega (ν) :

  • Toujours positif : une augmentation de la volatilité augmente la valeur de l'option.
  • Plus l'option est proche de l'échéance, plus Vega est faible.

• Rho (ρ) :

  • Pour un call, $\rho$ est positif : une hausse des taux augmente la valeur du call.
  • Pour un put, $\rho$ est négatif.

4. Utilisation pratique

• Delta est utilisé pour construire des portefeuilles neutres au risque de prix (delta-neutral).
• Gamma permet d'évaluer la stabilité de la couverture delta.
• Theta aide à comprendre la perte de valeur liée au temps (décroissance temporelle).
• Vega est crucial pour gérer le risque lié à la volatilité.
• Rho est important dans un contexte de variation des taux d'intérêt.

À retenir : Les Greek Letters mesurent la sensibilité du prix d'une option aux variations des paramètres clés (prix du sous-jacent, temps, volatilité, taux d'intérêt) et sont indispensables pour la gestion du risque dans le trading d'options.

1. Bornes inférieures des options européennes

• Call européen sur action sans dividendes :
  $c \geq \max\left(S_0 - K e^{-rT}, 0\right)$
  où $S_0$ = prix actuel de l'action, $K$ = prix d'exercice, $r$ = taux sans risque, $T$ = temps jusqu'à maturité.

• Put européen sur action sans dividendes :
  $p \geq \max\left(K e^{-rT} - S_0, 0\right)$

2. Argument d'arbitrage pour les bornes

• Si le prix d'une option est inférieur à sa borne, un arbitrage est possible en combinant achat/vente d'options, d'actions et d'obligations zéro-coupon.

3. Parité put-call (European options, sans dividendes)

• Relation fondamentale entre call et put européens avec même $K$ et $T$ :
  $c + K e^{-rT} = p + S_0$

• Cette égalité garantit qu'aucune opportunité d'arbitrage n'existe entre ces portefeuilles.

4. Parité put-call avec dividendes

• Si la valeur actuelle des dividendes pendant la vie de l'option est $D$, alors :
  $c + D + K e^{-rT} = p + S_0$

5. Options américaines sur actions sans dividendes

• Call américain :

  • Jamais optimal d'exercer avant maturité.
  • Valeur bornée par :
    $\max(S_0 - K e^{-rT}, 0) \leq C \leq S_0$
  • $C$ = prix call américain, $c$ = prix call européen, $C \geq c$.

• Put américain :

  • Peut être optimal d'exercer tôt si l'option est profondément dans la monnaie.
  • Bornes :
    $\max(K - S_0, 0) \leq P \leq K$
  • $P$ = prix put américain.

6. Effet des dividendes sur l'exercice anticipé

• Pour un call américain sur action avec dividendes, il peut être optimal d'exercer juste avant la date ex-dividende.

7. Propriétés générales des options sur actions

8. Résumé des bornes et parité

• Call européen (sans dividendes) :
  $c \geq \max(S_0 - K e^{-rT}, 0)$

• Put européen (sans dividendes) :
  $p \geq \max(K e^{-rT} - S_0, 0)$

• Call européen (avec dividendes) :
  $c \geq \max(S_0 - D - K e^{-rT}, 0)$

• Put européen (avec dividendes) :
  $p \geq \max(K e^{-rT} + D - S_0, 0)$

• Parité put-call (sans dividendes) :
  $c + K e^{-rT} = p + S_0$

• Parité put-call (avec dividendes) :
  $c + D + K e^{-rT} = p + S_0$

9. Arbitrage lié à la violation de la parité put-call

• Si
  $c + K e^{-rT} \neq p + S_0$
  alors arbitrage possible en achetant le portefeuille sous-évalué et vendant le surévalué.

10. Exercices anticipés

• Call américain sans dividendes : jamais optimal d'exercer avant maturité.
• Put américain sans dividendes : exercice anticipé optimal si option profondément dans la monnaie.

11. Application : capital structure et options

• La valeur des actions d'une entreprise peut être vue comme une option call sur la valeur des actifs avec un prix d'exercice égal à la dette à rembourser.
• La dette est équivalente à la valeur actuelle de la dette moins une option put sur les actifs.

À retenir : La parité put-call relie les prix des options européennes call et put, assurant l'absence d'arbitrage, et les bornes inférieures garantissent que les options ne peuvent pas être vendues à un prix trop bas. Les options américaines ont des caractéristiques différentes, notamment en ce qui concerne l'exercice anticipé.

1. Value at Risk (VaR)

• Definition: VaR measures the maximum expected loss over a given time horizon at a specified confidence level.
• Mathematically: For a loss variable $L$, the VaR at confidence level $\alpha$ is $$\text{VaR}_\alpha(L) = \inf \{ x \in \mathbb{R} : P(L \leq x) \geq \alpha \}$$
• Interpretation: With probability $\alpha$, losses will not exceed VaR over the time horizon.

2. Expected Shortfall (ES) or Conditional VaR

• Definition: ES is the expected loss given that the loss exceeds the VaR at level $\alpha$.
• Formula: $$\text{ES}_\alpha(L) = E[L \mid L > \text{VaR}_\alpha(L)]$$
• Key point: ES captures the tail risk beyond VaR, providing information on the severity of losses in worst cases.

3. Properties and Comparison

4. Calculation of VaR and ES

• VaR is the quantile of the loss distribution at level $\alpha$.
• ES can be computed as the average of losses exceeding VaR.
• For continuous loss distributions: $$\text{ES}_\alpha(L) = \frac{1}{1-\alpha} \int_\alpha^1 \text{VaR}_u(L) \, du$$

5. Practical Use

• VaR is used by financial institutions to set capital reserves.
• ES is preferred for risk management when tail risk is critical.
• Regulators increasingly require ES alongside VaR for risk assessment.

À retenir : La Value at Risk (VaR) donne la perte maximale attendue à un niveau de confiance donné, tandis que l’Expected Shortfall (ES) mesure la perte moyenne en cas de dépassement de la VaR, offrant ainsi une meilleure évaluation du risque extrême.

1. Pricing Options with One-Step Binomial Trees

• Portfolio construction: Combine option and stock positions to create a riskless portfolio.

• No-arbitrage condition: Riskless portfolio must earn the risk-free rate $r$.

• Delta ($\Delta$): Ratio of option price change to stock price change between nodes,

  $$\Delta = \frac{f_u - f_d}{S_0 u - S_0 d}$$

• Option price formula:

  $$f = e^{-rT} \left[ p f_u + (1-p) f_d \right]$$

  where

  $$p = \frac{e^{rT} - d}{u - d}$$

• Interpretation: $p$ is the risk-neutral probability of an up move.

2. Risk-Neutral Valuation

• Key principle: When pricing derivatives, assume investors are risk-neutral.

• Implications:

  1. Expected return on the stock is the risk-free rate $r$.
  2. Discount rate for expected payoffs is the risk-free rate.

• Expected stock price under risk-neutral measure:

  $$E[S_T] = p S_0 u + (1-p) S_0 d = S_0 e^{rT}$$

• Option price = discounted expected payoff under risk-neutral probabilities.

• Real-world vs risk-neutral probabilities: Real-world probability $p^*$ differs from $p$, but risk-neutral valuation gives correct option price without knowing $p^*$.

3. Multi-Step Binomial Trees

• Extension: Use multiple time steps $\Delta t$.

• Parameters:

  $$f = e^{-r \Delta t} \left[ p f_u + (1-p) f_d \right]$$ $$p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$$

• Recursive valuation: Calculate option values backward from terminal nodes.

• Two-step example: Option price at initial node is weighted discounted average of future option values.

• General formula for two-step tree:

  $$f = e^{-2 r \Delta t} \left[ p^2 f_{uu} + 2p(1-p) f_{ud} + (1-p)^2 f_{dd} \right]$$