Intervalles et inéquations

1. Définition d'un intervalle

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, qui peuvent être incluses ou non.

2. Types d'intervalles

3. Représentation graphique

• Sur une droite graduée, un intervalle fermé est représenté par un segment avec des points pleins aux bornes.
• Un intervalle ouvert est représenté par un segment avec des points ouverts aux bornes.
• Les intervalles infinis sont représentés par une flèche vers la droite (pour $+\infty$) ou vers la gauche (pour $-\infty$).

1. Définition

Une inéquation est une inégalité contenant une ou plusieurs inconnues, par exemple : $2x + 3 > 7$.

2. Résolution d'une inéquation du premier degré

1. Isoler l'inconnue $x$.
2. Appliquer les opérations sur les deux membres (addition, soustraction, multiplication, division).
3. Attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.

3. Exemples

• Résoudre $3x - 5 \leq 10$ :
  • $3x \leq 15$
  • $x \leq 5$
• Résoudre $-2x + 4 > 0$ :
  • $-2x > -4$
  • $x < 2$ (sens inversé car division par -2)

4. Représentation de la solution

• La solution est un intervalle ou une réunion d'intervalles.
• On la représente sur une droite graduée avec les conventions des intervalles (ouverts/fermés).

1. Méthode

• Tracer la fonction associée à l'expression de gauche moins celle de droite, par exemple $f(x) = 2x + 3 - 7 = 2x - 4$.
• Trouver les points où $f(x) = 0$ (racines).
• Déterminer le signe de $f(x)$ sur chaque intervalle délimité par ces racines.
• La solution correspond aux intervalles où l'inéquation est vraie (par exemple $f(x) > 0$).

1. Propriété

Pour $|x| < a$ avec $a > 0$, on a :

$$|x| < a \iff -a < x < a$$

Pour $|x| > a$ avec $a > 0$, on a :

$$|x| > a \iff x < -a \text{ ou } x > a$$

2. Exemple

Résoudre $|x - 2| \leq 3$ :

$$-3 \leq x - 2 \leq 3 \implies -1 \leq x \leq 5$$

1. Définition

Un système d'inéquations est un ensemble de plusieurs inéquations à résoudre simultanément.

2. Résolution

• Résoudre chaque inéquation séparément.
• Trouver l'intersection des solutions (partie commune).
• La solution finale est l'ensemble des valeurs qui satisfont toutes les inéquations.

À retenir : Résoudre une inéquation revient à isoler l'inconnue en respectant les règles, notamment l'inversion du sens de l'inégalité lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif, puis à exprimer la solution sous forme d'intervalle(s).