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Ensembles de nombres et intervalles de R

1. Principaux ensembles de nombres

Ensemble	Notation	Description	Exemple
N	$\mathbb{N}$	Nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...)	$5 \in \mathbb{N}$
Z	$\mathbb{Z}$	Nombres entiers relatifs (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)	$-5 \in \mathbb{Z}$
R	$\mathbb{R}$	Nombres réels (tous les nombres connus)	$3.14 \in \mathbb{R}$
R*	$\mathbb{R}^*$	Nombres réels non nuls	$0 \notin \mathbb{R}^*$

Caractéristiques générales de la fonction du second degré

La fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
avec $a \neq 0$.

1. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (forme en U : $\cup$).
• Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (forme en ∩).

2. Sommet de la parabole

• Le sommet est le point le plus bas (minimum) si $a > 0$, ou le plus haut (maximum) si $a < 0$.
• Coordonnées du sommet :
  $$S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

Définition et coefficients d'une fonction polynôme du second degré

1. Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.

• $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients du polynôme.
• Cette fonction est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

Exemple de fonction	Coefficients $a$, $b$, $c$
$f(x) = x^2 + 12x - 1$	$a=1$, $b=12$, $c=-1$

Ensembles de nombres

1. Ensembles de nombres

Les nombres sont regroupés en différents ensembles, chacun contenant le précédent.

Ensemble	Description	Notation	Exemple
Entiers naturels	Nombres entiers positifs ou nuls	$\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, \ldots}$	$5, 0, 3$
Entiers relatifs	Nombres entiers positifs, nuls ou négatifs	$\mathbb{Z} = {\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots}$	$-7, 0, 4$

Définition et notions de base des suites

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou un sous-ensemble) à valeurs dans un ensemble (souvent ℝ). On note une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où $u_n$ est le terme d'indice $n$.

• Terme général : $u_n$ désigne le terme de rang $n$.
• Définition explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$.
• Définition par récurrence : $u_0$ (ou $u_1$) est donné, puis $u_{n+1}$ est défini en fonction de $u_n$.

Intervalles

1. Définition d'un intervalle

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, qui peuvent être incluses ou non.

2. Types d'intervalles

Type d'intervalle	Notation	Description	Exemple
Intervalle fermé	$[a, b]$	Tous les réels $x$ tels que $a \leq x \leq b$	$[2, 5] = {x \mid 2 \leq x \leq 5}$

Probabilités : notions fondamentales

Les probabilités permettent de quantifier la chance qu’un événement se produise dans une expérience aléatoire. Elles sont exprimées par un nombre compris entre 0 et 1.

1. Expérience aléatoire

• Définition : expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.
• Exemple : lancer de dé, tirage d’une carte.

2. Univers et événements

• Univers ($\Omega$) : ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.
• Événement : sous-ensemble de $\Omega$.

Translation et vecteur

1. Translation et vecteur

a) Définitions

• Translation : La translation qui transforme un point $M$ en $M'$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{MM'}$.
• Vecteur : Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur).

Représentation géométrique :

• Direction : droite passant par $M$ et $M'$
• Sens : de $M$ vers $M'$ (indiqué par la flèche)
• Norme : longueur du segment $[MM']$

Notations :

• Vecteur allant de $M$ à $M'$ : $\overrightarrow{MM'}$
• Vecteur générique : $\overrightarrow{u}$

Proportions

1. Définitions

a) Proportion

• Proportion d'une partie dans un ensemble =
  $$p = \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$$
• Valeurs : $p \in [0,1]$
• Formes : fraction ou décimale (arrondie si besoin)

Exemple :
Dans une classe de 25 élèves (24 filles, 1 garçon) :

• Proportion garçons = $\frac{1}{25} = 0,04$
• Proportion filles = $\frac{24}{25} = 0,96$

b) Propriétés sur proportions emboîtées

Soient trois ensembles emboîtés : $C \subset B \subset A$ avec effectifs $n_C$, $n_B$, $n_A$.