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Caractéristiques générales de la fonction du second degré

La fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
avec $a \neq 0$.

1. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (forme en U : $\cup$).
• Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (forme en ∩).

2. Sommet de la parabole

• Le sommet est le point le plus bas (minimum) si $a > 0$, ou le plus haut (maximum) si $a < 0$.
• Coordonnées du sommet :
  $$S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

Définition et propriété de dérivabilité du logarithme

1. Définition du logarithme népérien

• La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $\mathbb{R}_+^* = ]0; +\infty[$.
• Pour tout $x > 0$, $\ln(x)$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$.

2. Propriétés algébriques du logarithme

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

Expression	Égalité

Probabilités : notions fondamentales

Les probabilités permettent de quantifier la chance qu’un événement se produise dans une expérience aléatoire. Elles sont exprimées par un nombre compris entre 0 et 1.

1. Expérience aléatoire

• Définition : expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.
• Exemple : lancer de dé, tirage d’une carte.

2. Univers et événements

• Univers ($\Omega$) : ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.
• Événement : sous-ensemble de $\Omega$.

Proportions

1. Définitions

a) Proportion

• Proportion d'une partie dans un ensemble =
  $$p = \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$$
• Valeurs : $p \in [0,1]$
• Formes : fraction ou décimale (arrondie si besoin)

Exemple :
Dans une classe de 25 élèves (24 filles, 1 garçon) :

• Proportion garçons = $\frac{1}{25} = 0,04$
• Proportion filles = $\frac{24}{25} = 0,96$

b) Propriétés sur proportions emboîtées

Soient trois ensembles emboîtés : $C \subset B \subset A$ avec effectifs $n_C$, $n_B$, $n_A$.

Déterminer graphiquement la pente et l'ordonnée à l'origine

Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ se déterminent directement sur son graphique.

1. Ordonnée à l'origine

• C'est la valeur de $f(x)$ lorsque $x = 0$.
• Graphiquement, c'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (axe vertical).
• Ordonnée à l'origine : $b = f(0)$.

2. Pente (coefficient directeur)

• La pente $a$ mesure la variation de $y$ par rapport à $x$.

I. Nombre dérivé

Le nombre dérivé est une notion fondamentale en analyse qui permet de mesurer le taux de variation d'une fonction.

• Définition : Le taux de variation ou taux d'accroissement de la fonction $f$ entre les points $a$ et $b$ est donné par : $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ où $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$.

Ensembles de nombres et intervalles de R

1. Principaux ensembles de nombres

Ensemble	Notation	Description	Exemple
N	$\mathbb{N}$	Nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...)	$5 \in \mathbb{N}$
Z	$\mathbb{Z}$	Nombres entiers relatifs (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)	$-5 \in \mathbb{Z}$
R	$\mathbb{R}$	Nombres réels (tous les nombres connus)	$3.14 \in \mathbb{R}$
R*	$\mathbb{R}^*$	Nombres réels non nuls	$0 \notin \mathbb{R}^*$

Définition et coefficients d'une fonction polynôme du second degré

1. Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.

• $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients du polynôme.
• Cette fonction est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

Exemple de fonction	Coefficients $a$, $b$, $c$
$f(x) = x^2 + 12x - 1$	$a=1$, $b=12$, $c=-1$

Fonctions et dérivation

1. Définition d'une fonction

Une fonction $f$ associe à chaque élément $x$ d'un ensemble de départ un unique élément $f(x)$ d'un ensemble d'arrivée.

2. Dérivée d'une fonction

La dérivée $f'(x)$ mesure le taux de variation instantané de $f$ en $x$.

• Formules clés :
  • $(x^n)' = n x^{n-1}$
  • $(e^x)' = e^x$
  • $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ (pour $x > 0$)

3. Tableau de variations

Permet de visualiser les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.

• Étapes :
  1. Calculer $f'(x)$.