Révision Maths

1. Les quatre opérations

a) Addition

• Astuce : arrondir puis ajuster.
  Exemple :
  $198 + 47 = (200 + 47) - 2 = 245$

b) Soustraction

• Astuce : décomposer ou compléter.
  Exemple :
  $812 - 467 = (812 - 400) - 67$

c) Multiplication

• Méthode sur papier (exemple : $234 \times 12$) :
  1. Aligner les chiffres : $234$ en haut, $12$ en dessous.
  2. Multiplier par les unités (ici $2$) :
     $2 \times 4 = 8, \quad 2 \times 3 = 6, \quad 2 \times 2 = 4 \quad \Rightarrow 468$
  3. Multiplier par la dizaine (ici $1$, qui vaut $10$) :
     • Décaler d’un rang à gauche (ajouter un zéro à droite).
       $1 \times 4 = 4, \quad 1 \times 3 = 3, \quad 1 \times 2 = 2 \quad \Rightarrow 2340$
  4. Additionner les deux résultats partiels :
     $468 + 2340 = 2808$
• Pourquoi décaler ?
  Multiplier par $1$ dans la colonne des dizaines revient à multiplier par $10$, le zéro ajouté représente cette dizaine.
• Règles des retenues :
  • Si un produit est $\geq 10$, écrire l’unité et garder la dizaine en retenue.
  • Ajouter la retenue au calcul suivant.
  • En fin de calcul, ajouter la retenue restante.

d) Division

• Règle :
  • Le dividende (nombre à partager) est à gauche.
  • Le diviseur (nombre qui divise) est à droite.

1. Division euclidienne : quotient et reste

• Division euclidienne de deux entiers consiste à déterminer combien de fois un nombre (le diviseur) "rentre" dans un autre (le dividende).

• Pour diviser 176 par 12 :

  1. On regarde combien de fois 12 rentre dans 17 → 1 fois (car $12 \times 1 = 12$).
  2. On soustrait : $17 - 12 = 5$, puis on descend le chiffre suivant (6) → on obtient 56.
  3. On regarde combien de fois 12 rentre dans 56 → 4 fois (car $12 \times 4 = 48$).
  4. On soustrait : $56 - 48 = 8$.

• Résultat : quotient = 14, reste = 8.

a) Repères classiques à connaître par cœur

2. Nombres premiers

• Définition : Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
• Il n’est divisible par aucun autre nombre sans reste.
• Pour vérifier si un nombre est premier, il faut tester s’il est divisible par un nombre plus petit que lui (autre que 1), en utilisant les tables de multiplication ou les règles de divisibilité.

• Exemples :
  • 5 est premier car divisible uniquement par 1 et 5.
  • 7, 11, 13, 17, 41 sont aussi premiers.

Pour tester si un nombre est premier, vérifier s’il est pair ou appliquer les règles de divisibilité (exemple : somme des chiffres pour 3 ou 9). Si aucune division sans reste n’est possible, le nombre est premier.

1. Pourcentages

Un pourcentage représente une fraction de 100.

• $10\% = \frac{10}{100} = 0{,}10$
• $100\%$ correspond à la totalité.

a) Calculer un pourcentage d’un nombre

Pour calculer $X\%$ d’un nombre $N$, on multiplie $N$ par $\frac{X}{100}$ :

$$X\% \text{ de } N = N \times \frac{X}{100}$$

Exemples :

• $20\%$ de 150 :

$$150 \times \frac{20}{100} = 30$$

• $10\%$ de 200 :

$$200 \times \frac{10}{100} = 20$$

À retenir : Un pourcentage est une fraction sur 100, donc pour trouver $X\%$ d’un nombre, on multiplie ce nombre par $\frac{X}{100}$.

1. Pourcentages

• Calcul d’un pourcentage d’un nombre :
  $\text{Pourcentage de } x = x \times \frac{p}{100}$
  Exemple : 5 % de 200 = $200 \times \frac{5}{100} = 10$.

• Trouver le pourcentage que représente A par rapport à B :
  $\text{Pourcentage} = \left(\frac{A}{B}\right) \times 100$
  Exemple : 18 sur 20 = $\frac{18}{20} \times 100 = 90\%$.

• Appliquer une réduction ou une augmentation :

  • Réduction de $p\%$ sur un montant $M$ :
    $M_{\text{réduit}} = M - \left(M \times \frac{p}{100}\right)$
  • Augmentation de $p\%$ sur un montant $M$ :
    $M_{\text{augmenté}} = M + \left(M \times \frac{p}{100}\right)$
    Exemple : Réduction de 20 % sur 100 € → $100 - 100 \times 0,20 = 80$ €.

2. Capitaux et intérêts

• Capital : somme initiale placée ou empruntée.

• Taux d’intérêt : exprimé en pourcentage, à convertir en décimal ($3\% = 0,03$).

• Durée : en années (ou autre unité précisée).

• Formule des intérêts simples :

  $$\text{Intérêt} = \text{Capital} \times \text{Taux} \times \text{Durée}$$

• Attention :

  • Le taux doit être divisé par 100 pour passer en décimal.
  • La durée est en années (ou unité donnée).

• Exemple : Capital = 600 €, Taux = 5 % = 0,05, Durée = 3 ans

  $$\text{Intérêt annuel} = 600 \times 0,05 = 30\,€$$ $$\text{Intérêt total} = 30 \times 3 = 90\,€$$

3. TVA (Taxe sur la Valeur Ajoutée)

• Si le Prix Hors Taxes (HT) est donné :

  $$\text{Montant de la TVA} = \text{Prix HT} \times \frac{\text{taux de TVA}}{100}$$

• Le Prix TTC (Toutes Taxes Comprises) s’obtient par :

  $$\text{Prix TTC} = \text{Prix HT} + \text{Montant de la TVA} = \text{Prix HT} \times \left(1 + \frac{\text{taux de TVA}}{100}\right)$$

1. Exemple

• Prix HT = 80 €
• Taux TVA = 10 %

Calcul de la TVA :

$$\text{TVA} = 80 \times \frac{10}{100} = 8 \,€$$

Prix TTC :

$$\text{Prix TTC} = 80 + 8 = 88 \,€$$

2. Calcul du prix HT à partir du prix TTC

Si le prix TTC est donné, on utilise la formule inverse :

$$\text{Prix HT} = \frac{\text{Prix TTC}}{1 + \frac{\text{Taux TVA}}{100}}$$

Le "1" représente la totalité du prix HT (100%).

3. Exemple

• Prix TTC = 120 €
• Taux TVA = 20 %

Calcul du prix HT :

$$\text{Prix HT} = \frac{120}{1 + \frac{20}{100}} = \frac{120}{1,20} = 100 \,€$$

Pour simplifier la division par un nombre décimal, on multiplie numérateur et dénominateur par 100 :

Donc :

$$\text{Prix HT} = \frac{12000}{120} = 100 \,€$$

La TVA est alors :

$$\text{TVA} = 120 - 100 = 20 \,€$$

1. Ordre à suivre :

1. Parenthèses
2. Multiplications et divisions
3. Additions et soustractions

2. Astuce mnémotechnique

P M D A S :
Parenthèses > Multiplications/Divisions > Additions/Soustractions

À retenir : Toujours effectuer d'abord les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.