Mathématiques Brevet

1. Définition

Le calcul littéral utilise des lettres (variables) pour représenter des nombres inconnus ou variables dans des expressions mathématiques.

2. Notions clés

• Expression littérale : combinaison de nombres, lettres et opérations (ex : $3x + 5$).
• Simplification : réduire une expression en regroupant les termes semblables (ex : $2x + 3x = 5x$).
• Développement : transformer un produit en somme (ex : $a(b + c) = ab + ac$).
• Factorisation : transformer une somme en produit (ex : $ab + ac = a(b + c)$).

3. Règles importantes

• $x + x = 2x$
• $ax + bx = (a + b)x$
• $x \times x = x^2$
• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

1. Définition

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues à résoudre.

2. Résolution d’une équation simple

1. Isoler l’inconnue (ex : $3x + 5 = 11$ → $3x = 6$ → $x = 2$).
2. Vérifier la solution dans l’équation initiale.

3. Équations du premier degré

Forme générale : $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$
Solution : $x = -\frac{b}{a}$

1. Définition

Une fonction associe à chaque valeur de départ (appelée antécédent) une seule valeur d’arrivée (appelée image).

2. Représentation

• Par une formule (ex : $f(x) = 2x + 3$).
• Par un tableau de valeurs.
• Par un graphique dans un repère.

3. Domaine de définition

En général, pour les fonctions étudiées au brevet, le domaine est $\mathbb{R}$ ou un intervalle donné.

1. Représentation graphique

• La pente (coefficient $a$) indique la direction et la raideur de la droite.
• L’ordonnée à l’origine ($b$) est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

1. Vocabulaire

• Population : ensemble étudié.
• Effectif : nombre d’éléments dans une catégorie.
• Fréquence : proportion d’une catégorie dans la population, calculée par $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.
• Moyenne : somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.

2. Calcul de la moyenne

$$\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{valeurs} \times \text{effectifs})}{\text{effectif total}}$$

3. Médiane et quartiles

• Médiane : valeur qui partage la population en deux parties égales.
• Quartiles : valeurs qui divisent la population en quatre parties égales.

1. Notions de base

• Point, droite, plan : éléments fondamentaux.
• Droites parallèles : ne se coupent jamais.
• Droites sécantes : se coupent en un point.
• Plans parallèles : ne se coupent jamais.
• Droite perpendiculaire à un plan : forme un angle droit avec toutes les droites du plan passant par le point d’intersection.

2. Figures usuelles

• Cube, pavé droit, prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère.

3. Calculs

• Volume : produit de l’aire de la base par la hauteur (ex : pavé droit $V = L \times l \times h$).
• Aire : dépend de la forme (ex : aire d’un rectangle $= L \times l$).

1. Grandeurs composées

• Résultent de la combinaison de plusieurs grandeurs (ex : vitesse = distance ÷ temps).
• Exemple : vitesse en km/h, densité en kg/m³.

2. Conversion d’unités

• Connaître les relations entre unités (ex : 1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s).
• Convertir avant de calculer pour éviter les erreurs.

1. Énoncé

Si deux droites sont coupées par deux droites parallèles, alors les segments correspondants sont proportionnels.

2. Condition d’application

• Deux droites parallèles.
• Trois points alignés sur chaque droite.

3. Formule

Si $A$, $B$, $C$ sont alignés sur une droite et $A'$, $B'$, $C'$ sur une autre, avec $(BC) \parallel (B'C')$, alors :

$$\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}$$

1. Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

2. Formule

Si $ABC$ est rectangle en $B$, alors :

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

3. Application

• Calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle.
• Vérifier si un triangle est rectangle.

À retenir : Le calcul littéral permet de manipuler des expressions avec des lettres, les équations s’utilisent pour trouver des inconnues, et les fonctions modélisent des relations entre variables. Les théorèmes de Thalès et Pythagore sont essentiels pour résoudre des problèmes de géométrie.