Loi Binomiale MATHS BTS 2

A) 📜 Définitions

1) Épreuve De Bernoulli (Binomiale)

• Une épreuve de Bernoulli de paramètre p a deux issues :
  • Succès (S) : probabilité p
  • Échec (E) : probabilité 1 - p

Exemple :

• Une usine teste 100 pièces.
• Probabilité qu'une pièce soit défectueuse : 0.01.
• Variable aléatoire X : nombre de pièces défectueuses.
• Cas de Bernoulli : X suit une loi binomiale car chaque pièce a 2 issues possibles.

2) 📊 Schéma De Bernoulli

• Un schéma de Bernoulli avec n épreuves (n entier naturel non nul) consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Exemple :

• Un vendeur a une probabilité de vente de 0.90 par jour.
• On calcule les issues sur 3 jours consécutifs.

• Probabilité d'avoir 2 ventes sur 3 jours :
  • ( P(X=2) = 3 \cdot 0.9^2 \cdot 0.1 = 0.243 ).

3) 📈 Loi De Probabilité

• Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètres p, la variable aléatoire X (nombre de succès) suit la loi :

$P(X=k) = n C k \cdot (p)^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

• Notation : X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).

Exemple d'examen :

• Un commercial effectue 20 visites par jour avec une probabilité de vente de 0.1.
• Variable aléatoire X : nombre d'articles vendus dans une journée.
• Questions :
  1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et donner les paramètres.

A) 📦 Exercice de contrôle de qualité

1) Justification de la loi binomiale

• Variable aléatoire : X « nombre de pièces défectueuses dans un lot de 100 »
• Paramètres : n = 100, p = 0.01 (probabilité qu'une pièce soit défectueuse)

2) Calcul des probabilités

3) Commercialisation du lot

• Condition : Un lot est commercialisable s'il a moins de 3 pièces défectueuses.
• Calculs :
  • P(lot commercialisable) = P(X < 3)
  • P(lot non commercialisable) = P(X ≥ 3)

B) 🍬 Exercice sur les dragées

1) Justification de la loi binomiale

• Variable aléatoire : X « nombre de dragées aux amandes dans un sachet de 100 »
• Paramètres : n = 100, p = 0.545

2) Nombre moyen de dragées aux amandes

• Espérance : E(X) = n * p = 100 * 0.545 = 54.5

3) Calcul de P(X = 60)

• Formule : P(X = 60) = $100 C_{60} \cdot 0.545^{60} \cdot 0.455^{40}$

4) Probabilité d'obtenir au moins 50 dragées aux amandes

• Calcul : P(X ≥ 50) = 1 - P(X ≤ 49)

C) 🌹 Exercice sur les flacons

1) Justification de la loi binomiale

• Variable aléatoire : X « nombre de flacons contenant du jasmin dans un lot de 100 »
• Paramètres : n = 100, p = 0.37

2) Probabilité d'obtenir exactement 40 flacons au jasmin

• Calcul : P(X = 40) = $100 C_{40} \cdot 0.37^{40} \cdot 0.63^{60}$

3) Probabilité d'obtenir moins de 40 flacons au jasmin

• Calcul : P(X < 40) = P(X ≤ 39)

4) Probabilité d'obtenir plus de 50 flacons au jasmin

• Calcul : P(X > 50) = 1 - P(X ≤ 50)

5) Probabilité d'obtenir au moins 30 flacons au jasmin

• Calcul : P(X ≥ 30) = 1 - P(X ≤ 29)

6) Espérance et écart-type

• Formules :
  • E(X) = n * p
  • Écart-type = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$

A) 📊 Notions de base

1) Événements et probabilités

• H : Événement « Le pneu commandé est un pneu hiver ».
• Q : Événement « Le pneu a réussi les tests de qualité ».
• Probabilité de commander un pneu hiver : $P(H) = 0.25$.
• Probabilité qu'un pneu hiver réussisse les tests : $P(H|Q) = 0.96$.

2) Arbre pondéré de probabilité

• Représentation des événements :
  • Pneus hiver : 25% des commandes.
  • Pneus 4 saisons : 75% des commandes.
  • Réussite des tests :
    • Hiver : 96% réussissent.
    • 4 saisons : 97% réussissent.

B) 📈 Calculs de probabilités

1) Probabilité de l'événement H ∩ Q

• Calcul : $P(H \cap Q) = P(H) \cdot P(Q|H) = 0.25 \cdot 0.96 = 0.24$.

2) Interprétation

• Interprétation : 24% des pneus commandés sont des pneus hiver ayant réussi les tests de qualité.

3) Calcul de P(Q)

• Montrer que : $P(Q) = P(H \cap Q) + P(H^c \cap Q)$.
• Résultat : $P(Q) = 0.9675$.

C) 🔍 Probabilité conditionnelle

1) Probabilité que le pneu soit un pneu hiver

• Sachant que le pneu a réussi les tests, calculer $P(H|Q)$.
• Formule : $P(H|Q) = \frac{P(H \cap Q)}{P(Q)}$.
• Résultat arrondi au millième : $P(H|Q) \approx 0.247$.