Fonctions et dérivées

1. Définition

La limite d'une fonction $f$ en un point $a$ (ou à l'infini) décrit le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ (ou vers $+\infty$ ou $-\infty$).

• $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche arbitrairement de $L$ quand $x$ s'approche de $a$.
• Limites à droite ($x \to a^+$) et à gauche ($x \to a^-$) peuvent différer.

2. Limites usuelles

3. Opérations sur les limites

• $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ (si limites finies)
• $\lim (f \times g) = \lim f \times \lim g$
• $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ (si $\lim g \neq 0$)

4. Formes indéterminées

• $\frac{0}{0}, \infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}$ nécessitent des techniques (factorisation, conjugaison, règle de l'Hôpital).

1. Définition

La dérivée $f'(a)$ d'une fonction $f$ en un point $a$ mesure le taux de variation instantané de $f$ en $a$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

• Si cette limite existe, $f$ est dérivable en $a$.
• La dérivée est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

2. Interprétation géométrique

• $f'(a) > 0$ : tangente ascendante.
• $f'(a) < 0$ : tangente descendante.
• $f'(a) = 0$ : tangente horizontale (point critique).

3. Dérivées usuelles

4. Règles de dérivation

• $(f + g)' = f' + g'$
• $(\lambda f)' = \lambda f'$, $\lambda \in \mathbb{R}$
• $(f \times g)' = f' g + f g'$
• $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$ (si $g \neq 0$)
• Dérivée de la composée : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$

1. Définition

Les variations d'une fonction sont déterminées par le signe de sa dérivée :

• $f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow f$ est strictement croissante.
• $f'(x) < 0$ sur un intervalle $\Rightarrow f$ est strictement décroissante.
• $f'(x) = 0$ en un point $c$ peut indiquer un extremum local (maximum ou minimum).

2. Étapes pour étudier les variations

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Calculer la dérivée $f'(x)$.
3. Trouver les points critiques : résoudre $f'(x) = 0$.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur les intervalles délimités par ces points.
5. Conclure sur les variations (croissance/décroissance).
6. Identifier les extremums locaux (maximum si $f'$ change de + à -, minimum si - à +).

3. Tableau de variations