Dérivation des Fonctions

1. Le nombre dérivé et la tangente

La dérivation permet d’étudier les variations d’une fonction en établissant un lien entre la pente de la tangente à sa courbe et son comportement local.

a) Tangente à une courbe et variations de la fonction

• La tangente à la courbe d’une fonction $f$ en un point d’abscisse $a$ est la droite qui touche la courbe en ce point sans la couper localement.
• La pente (coefficient directeur) de cette tangente renseigne sur la variation de la fonction en $a$ :
  • Si la pente est positive, la fonction est croissante en $a$.
  • Si la pente est négative, la fonction est décroissante en $a$.

La pente de la tangente en un point donne le sens de variation de la fonction en ce point.

b) Calcul de la pente d’une droite passant par deux points

Pour deux points $A$ et $B$ d’abscisses $a$ et $b$ sur la courbe de $f$, la pente de la droite $(AB)$ est donnée par :

$$\text{pente} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

c) Définition du nombre dérivé

Pour trouver la pente de la tangente en $a$, on considère un point $M$ d’abscisse $a + h$ proche de $a$ et on calcule la pente de la sécante $(AM)$ :

$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la limite de ce quotient lorsque $h$ tend vers 0 (si cette limite existe) :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

• $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ en $a$.
• $f'(a)$ permet de déterminer localement la variation de $f$ autour de $a$.

d) Résumé des notions clés

Le nombre dérivé est l’outil fondamental pour étudier les variations d’une fonction via la pente de sa tangente en un point donné.

1. Définition du nombre dérivé par limite

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en un point $a$ correspond à la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Cette pente se calcule comme la limite du taux d'accroissement lorsque l'écart $h$ tend vers 0.

Formellement, si la limite suivante existe et est finie :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

alors on dit que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$.

2. Interprétation géométrique

• Le quotient $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ représente la pente de la droite sécante passant par les points $(a, f(a))$ et $(a+h, f(a+h))$.
• Lorsque $h \to 0$, cette droite sécante se rapproche de la tangente à la courbe en $a$.
• La limite du quotient est donc la pente de la tangente en $a$.

À retenir : Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

3. Équation de la tangente en $a$

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est la droite d'équation :

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

4. Exemple : fonction carrée $f(x) = x^2$

Calcul du nombre dérivé en $a$ :

$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$$

En faisant tendre $h$ vers 0, on obtient :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$$

Donc la pente de la tangente à la courbe $y = x^2$ en $a$ est $2a$.

5. Synthèse

Attention : Le nombre dérivé peut ne pas exister en certains points (exemple : point anguleux, discontinuité). Dans ce cas, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

1. Fonction dérivée

La fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ donne la pente de la tangente à la courbe de $f$ en chaque point. Elle est définie par la limite du taux d'accroissement lorsque $h \to 0$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

La fonction dérivée exprime la pente de la tangente à la courbe en tout point $a$.

2. Exemple : dérivée de la fonction carré

Pour $f(x) = x^2$, on calcule :

$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$$

En faisant tendre $h$ vers 0, on obtient :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$$

Ainsi, la dérivée de $x^2$ est $2x$.

3. Interprétation géométrique et variations

• Si $f'(a) > 0$, la fonction est croissante en $a$.
• Si $f'(a) < 0$, la fonction est décroissante en $a$.

Pour $f(x) = x^2$, on a :

• $f'(x) = 2x > 0$ pour $x > 0$ → fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$
• $f'(x) = 2x < 0$ pour $x < 0$ → fonction décroissante sur $\mathbb{R}^-$

4. Notation de la fonction dérivée

• La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$.
• On écrit $f'(x)$ pour désigner la dérivée en un point $x$ quelconque.

5. Formules de dérivation usuelles

6. Utilité des formules de dérivation

Ces formules permettent de calculer rapidement la dérivée de fonctions composées, sans refaire le calcul de limite à chaque fois. Elles sont essentielles pour étudier les variations des fonctions complexes.

Pour toute fonction dérivable, la dérivée permet d'étudier ses variations en déterminant le signe de $f'(x)$.

1. Dérivée de la fonction puissance

• Pour une fonction $f(x) = x^n$ où $n$ est un entier naturel, la dérivée est donnée par la formule de dérivation des puissances : $$f'(x) = n \times x^{n-1}$$
• Règle mnémotechnique : on fait descendre l'exposant $n$ devant la puissance, puis on diminue l'exposant de 1.

Exemple :
Pour $f(x) = x^5$,

$$f'(x) = 5x^{4}$$

2. Dérivée d'une fonction multipliée par une constante

• Si $f(x) = a \times g(x)$ avec $a$ une constante, alors $$f'(x) = a \times g'(x)$$
• La constante se conserve en facteur lors de la dérivation.

Exemple :
Pour $f(x) = 6x^3$,

$$f'(x) = 6 \times 3x^{2} = 18x^{2}$$

3. Dérivée de la somme de fonctions

• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$
• Cette propriété permet de dériver terme à terme.

Exemple :
Pour $f(x) = 2x^2 + 3x$,

$$f'(x) = 2 \times 2x^{1} + 3 \times 1 = 4x + 3$$

4. Dérivée du produit de deux fonctions (formule du produit)

• Pour $f(x) = u(x) \times v(x)$, la dérivée est : $$f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$$
• Il ne faut pas dériver terme à terme puis multiplier, mais appliquer cette formule.

Exemple :
Soit $f(x) = x^3 \times \sqrt{x} = x^3 \times x^{1/2}$

• $u(x) = x^3$, donc $u'(x) = 3x^{2}$
• $v(x) = x^{1/2}$, donc $v'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$

Alors,

$$f'(x) = 3x^{2} \times x^{1/2} + x^{3} \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = 3x^{2 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{3 - \frac{1}{2}} = 3x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{5}{2}} = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$$

À retenir :

• La dérivée d'une puissance $x^n$ est $n x^{n-1}$.
• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
• La dérivée d'un produit suit la formule $f' = u'v + uv'$.
• Une constante multiplicative se conserve lors de la dérivation.

1. Théorème de variation des fonctions

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) \geq 0$ (resp. $\leq 0$), alors $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$.

2. Étude du signe de la dérivée

Pour déterminer les variations d'une fonction, il faut :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle.

Exemple : $f(x) = 2x + 3$

• $f'(x) = 2$ (constante et positive)
• Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Extrema locaux (maximum et minimum)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $c \in I$ tel que :

• $f'(c) = 0$ (point critique)
• $f'$ change de signe en $c$.

Alors :

Un point où la dérivée s'annule et change de signe est un extremum local.

4. Exemple d'application

Pour $f(x) = x^2$ :

• $f'(x) = 2x$
• $f'(0) = 0$
• $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ (fonction décroissante)
• $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ (fonction croissante)

Donc $f$ admet un minimum local en $x=0$.

5. Méthode pour trouver les extrema d'une fonction $f$

1. Calculer $f'(x)$.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ autour de ces points.
4. Déterminer la nature de l'extrémum (minimum ou maximum) selon le changement de signe.

6. Formule de dérivation du quotient

Pour $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u$ et $v$ dérivables et $v(x) \neq 0$ :

$$f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Pour étudier les variations d'une fonction, il suffit de connaître le signe de sa dérivée. Un changement de signe de la dérivée en un point où elle s'annule indique un extremum local.