Microéconomie

1. Objet et définition de la microéconomie

• Microéconomie : étude des comportements individuels, des interactions sur les marchés, et des résultats (prix et quantités d’équilibre).
• Bien (ou service) : défini par ses caractéristiques physiques, temporelles, spatiales et conditions de disponibilité.
• Marchandise : bien/service spécifié dans un contexte donné (ex : blé rouge d’hiver n°2 aujourd’hui à Nanterre par beau temps).
• Quantité échangée d’une marchandise $h$ notée $x_h \in \mathbb{R}_+$.
• Prix $p_h$ : montant à payer pour une unité de marchandise $h$, exprimé en numéraire (prix absolus).
• Prix relatifs : $\frac{p_k}{p_l}$.

La microéconomie étudie les comportements individuels, leurs interactions sur les marchés, et les résultats de ces interactions.

2. Nature et démarche de la microéconomie

• Approche explicative : expliquer comportements, détermination des prix et quantités, effets des changements d’environnement.
• Approche normative : déterminer la meilleure manière d’atteindre un objectif (ex : politique économique).
• Utilisation de modèles mathématiques simplifiés (modèles hypothético-déductifs) pour représenter la réalité sociale.
• Notion de proposition réfutable.

3. Hypothèses fondamentales

• Dans ce cours, les marchés sont concurrentiels.

4. Comportement du consommateur : préférences et utilité

a) Ensemble de consommation

• Espace des biens : $\mathbb{R}_+^2$ (ici $L=2$ biens).
• Ensemble de consommation du consommateur $i$ : $X_i \subseteq \mathbb{R}_+^2$.
• Un plan de consommation (ou panier) : $x_i = \begin{pmatrix} x_{i1} \\ x_{i2} \end{pmatrix}$ avec $x_{i1}, x_{i2} > 0$.

b) Propriétés de $X_i$

• (C1) Non vide et fermé.
• (C2) Borné inférieurement (par les axes), non borné supérieurement.
• (C3) Convexe : pour tout $x_i, x_i' \in X_i$ et $\alpha \in [0,1]$, $\alpha x_i + (1-\alpha) x_i' \in X_i$.

c) Relation de préférences de $i$

• Relation binaire $<_{i}$ sur $X_i$ : "$x_i$ est au moins aussi désirable que $x_i'$".
• Définie par :
  • Indifférence : $x_i <_i x_i'$ et $x_i' <_i x_i$ $\implies$ $x_i \sim_i x_i'$ (équivalence).
  • Préférence stricte : $x_i <_i x_i'$ et non($x_i' <_i x_i$) $\implies$ $x_i \prec_i x_i'$.
• Ensembles associés à un panier $x_i^0$ :
  • $A(x_i^0) = \{ x_i \in X_i \mid x_i <_i x_i^0 \}$ : paniers au moins aussi préférés que $x_i^0$.
  • $B(x_i^0) = \{ x_i \in X_i \mid x_i^0 <_i x_i \}$ : paniers strictement préférés à $x_i^0$.
  • $I(x_i^0) = \{ x_i \in X_i \mid x_i \sim_i x_i^0 \}$ : paniers équivalents à $x_i^0$.

La microéconomie analyse les choix rationnels des agents sur des marchés concurrentiels, en modélisant leurs préférences et comportements via des ensembles de consommation et des relations de préférences.

1. Relations de préférences

• Panier $x_i$ est équivalent à $x_i^0$ : $x_i \sim_i x_i^0$ (même préférence, vecteurs différents possibles).
• Préférence stricte : $x_i <_i x_i^0$ signifie que $x_i$ est strictement préféré à $x_i^0$.
• Ensembles associés à $x_i$ :
  • $A(x_i) = \{x_i^0 \in X_i : x_i^0 <_i x_i\}$ (paniers préférés à $x_i$)
  • $B(x_i) = \{x_i^0 \in X_i : x_i <_i x_i^0\}$ (paniers moins préférés que $x_i$)
  • $E(x_i) = \{x_i^0 \in X_i : x_i \sim_i x_i^0\}$ (paniers équivalents à $x_i$)

2. Axiomes des préférences ($<_i$)

• Sous (C4)-(C6), $<_i$ est un préordre complet (rationnel).

3. Propriétés supplémentaires

• Continuité (C7) : Pas de "sauts" dans les préférences. Si une suite $x_i^n \to x_i$ et $x_i^{0n} \to x_i^0$ avec $x_i^n <_i x_i^{0n}$, alors $x_i <_i x_i^0$.
• Monotonie (C8) :
  • Non saturation locale : Autour de tout panier, il existe un panier strictement préféré.
  • Semi-monotonie : Ajouter une unité d’un bien strictement augmente la préférence.
  • Monotonie forte : Si $x_i \gg x_i^0$ (composantes strictement supérieures), alors $x_i <_i x_i^0$.
• Convexité (C9) : Pour $x_i <_i x_i^0$, toute combinaison convexe $tx_i + (1-t)x_i^0$ avec $t \in [0,1]$ est préférée à $x_i^0$.
• Convexité stricte (C9') : Même chose avec $t \in (0,1)$ et préférence stricte.

4. Fonction d'utilité

• Définition : $u_i : X_i \to \mathbb{R}$ mesure la satisfaction du consommateur $i$ pour un panier $x_i$.
• Représentation des préférences :
  • $u_i(x_i) > u_i(x_i^0) \iff x_i <_i x_i^0$
  • $u_i(x_i) = u_i(x_i^0) \iff x_i \sim_i x_i^0$
• Utilité ordinale : Seules les transformations strictement croissantes $\phi$ de $u_i$ conservent la même relation de préférence, i.e. $\phi(u_i(x_i))$ représente aussi $<_i$.
• Utilité cardinale (cas plus restrictif) : Comparaison des différences d’utilité a un sens, transformations affines $\phi(u) = a u + b$, $a > 0$.

5. Propriétés de la fonction d'utilité $u_i$

6. Notions clés à retenir

La fonction d'utilité ordinale représente les préférences du consommateur à travers une relation complète, transitive et continue, avec une monotonie et une convexité assurant des préférences rationnelles et "raisonnables". Toute transformation strictement croissante de cette fonction représente les mêmes préférences.

1. Utilités marginales

• Utilité marginale d’un bien $j$ : accroissement infinitésimal d’utilité lié à une augmentation infinitésimale de la quantité consommée de ce bien.

  $$U_{m_j}(x_{i1}, x_{i2}) = \frac{\partial u_i(x_i)}{\partial x_{ij}} = \lim_{\Delta x_{ij} \to 0} \frac{u_i(x_{i1}, x_{i2} + \Delta x_{ij}) - u_i(x_{i1}, x_{i2})}{\Delta x_{ij}}$$

• Les utilités marginales sont positives : l’utilité est croissante en les quantités consommées.

• Si $u_i$ est strictement concave (cas cardinal), alors les utilités marginales sont décroissantes.

2. Courbes d’indifférence

• Ensemble des paniers procurant la même utilité :

  $$I(x_i^0) = \{ x_i \in X_i \mid u_i(x_i) = u_i(x_i^0) \}$$

• Propriétés des courbes d’indifférence :

  Propriété	Description
  Continuité	$u_i$ continue, donc les courbes sont continues
  Décroissance	Pente négative : $dx_{i2}/dx_{i1} < 0$ le long de la courbe
  Non-sécantes	Deux courbes d’indifférence ne se croisent pas (transitivité des préférences)
  Convexité	Courbes convexes (quasi-concavité de $u_i$)
  Strictement convexe	Si $u_i$ strictement quasi-concave, courbes strictement convexes

3. Taux marginal de substitution (TMS)

• Définition : taux auquel le consommateur est prêt à échanger une unité infinitésimale d’un bien contre une autre, en restant sur la même courbe d’indifférence (même utilité).

• Formule du TMS entre biens 1 et 2 au panier $x_i$ :

  $$TMS_i^{1,2}(x_i) = \frac{dx_{i2}}{dx_{i1}} = \lim_{(\Delta x_{i1}, \Delta x_{i2}) \to (0,0)} \frac{\Delta x_{i2}}{\Delta x_{i1}}$$

• Interprétation géométrique :

  $$TMS_i^{1,2}(x_i) = - \text{pente de la tangente à la courbe d’indifférence en } x_i$$

• Expression en utilités marginales (si $u_i$ différentiable) :

  $$TMS_i^{1,2}(x_i) = - \frac{\partial u_i(x_i)/\partial x_{i1}}{\partial u_i(x_i)/\partial x_{i2}}$$

4. Propriétés du TMS

Le TMS décroissant traduit la rareté relative et la convexité stricte des préférences.

5. Remarques complémentaires

• Le TMS est un taux d’échange subjectif propre à chaque consommateur.

• Le fait que le TMS s’exprime comme un rapport d’utilités marginales confirme son caractère ordinal.

• Si on considère une transformation monotone croissante $v_i = \phi(u_i)$, alors le TMS reste inchangé :

  $$TMS_i^{1,2}(v) = TMS_i^{1,2}(u)$$

À retenir : Le taux marginal de substitution mesure la quantité d’un bien qu’un consommateur est prêt à sacrifier pour obtenir une unité supplémentaire d’un autre bien, tout en conservant le même niveau de satisfaction. Il est égal au rapport négatif des utilités marginales et décroît avec la quantité consommée, reflétant la convexité stricte des préférences.

1. Ensemble budgétaire

• Soit $p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$ avec $p_1, p_2 > 0$ les prix des biens 1 et 2, et $R > 0$ le revenu du consommateur.
• Ensemble budgétaire $B(p_1, p_2, R)$ : ensemble des paniers consommables tels que $$p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq R.$$
• Géométriquement, $B(p_1, p_2, R)$ est un triangle (polyèdre en dimension supérieure) délimité par la droite d'équation $$p_1 x_1 + p_2 x_2 = R.$$
• Propriétés de $B(p_1, p_2, R)$ :
  1. Continu ;
  2. Convexe ;
  3. Compact (fermé et borné) si $p_1, p_2 > 0$ ;
  4. Homogène de degré zéro en $(p_1, p_2, R)$ : pour tout $k > 0$, $$B(k p_1, k p_2, k R) = B(p_1, p_2, R).$$

2. Contrainte budgétaire

• La contrainte budgétaire correspond à la frontière supérieure de l'ensemble budgétaire : $$\sup B(p_1, p_2, R) = \{(x_1, x_2) \mid p_1 x_1 + p_2 x_2 = R \}.$$
• Elle représente les paniers pour lesquels le consommateur dépense tout son revenu.
• Équation explicite de la contrainte budgétaire : $$x_2 = \frac{R}{p_2} - \frac{p_1}{p_2} x_1.$$
• Propriétés de la contrainte budgétaire :
  1. Points extrêmes : $\left(\frac{R}{p_1}, 0\right)$ et $\left(0, \frac{R}{p_2}\right)$ ;
  2. Pente de la droite budgétaire : $$\frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{p_1}{p_2} < 0,$$ ce qui signifie que le rapport des prix $\frac{p_2}{p_1}$ est orthogonal à la ligne budgétaire ;
  3. Homogénéité de degré zéro en $(p_1, p_2, R)$.

3. Taux d’échange du marché (TEM)

• Défini comme le taux d’échange objectif entre les biens 1 et 2 sur la contrainte budgétaire : $$TEM := -\frac{dx_2}{dx_1} = \frac{p_1}{p_2} > 0.$$
• Interprétation : quantité de bien 2 à sacrifier pour obtenir une unité supplémentaire de bien 1, ou quantité de bien 2 obtenue en échange d’une unité de bien 1.
• Le TEM est un prix relatif objectif qui fixe les termes d’échange sur le marché.

4. Remarques importantes

• La fonction d’utilité est supposée croissante en chaque bien, donc seuls les paniers sur la frontière budgétaire sont pertinents pour la maximisation.
• Le consommateur n’est pas soumis à une illusion monétaire : une variation proportionnelle et simultanée des prix et du revenu ne modifie pas l’ensemble budgétaire ni les choix.
• Extensions possibles : contraintes budgétaires endogènes (arbitrage travail-loisir), contraintes intertemporelles (épargne).

À retenir : La contrainte budgétaire est une droite de pente $-\frac{p_1}{p_2}$ qui délimite l’ensemble des paniers accessibles au consommateur compte tenu de son revenu et des prix, et le taux d’échange du marché $TEM = \frac{p_1}{p_2}$ exprime le prix relatif des biens.