Définition et notion de fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ (appelé domaine) un unique élément d’un ensemble d’arrivée (appelé codomaine).
On note souvent une fonction par :
où est un élément du domaine et son image.
Une fonction associe exactement une image à chaque élément de son domaine.
Représentation d’une fonction
1. Représentation graphique
- Le graphe d’une fonction est l’ensemble des points dans un repère.
- La courbe doit passer par un seul point pour chaque abscisse (test de la verticale).
2. Représentation par un tableau de valeurs
- Liste des valeurs de et des images correspondantes.
3. Représentation par une formule
- Exprime en fonction de , par exemple .
Domaine de définition
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de pour lesquelles est définie.
- Par exemple, pour , le domaine est car rend le dénominateur nul.
- Pour , le domaine est car l’expression sous la racine doit être positive ou nulle.
Types de fonctions courantes
| Type de fonction | Forme générale | Domaine typique | Exemple |
|---|---|---|---|
| Fonction affine | |||
| Fonction constante | |||
| Fonction carrée | |||
| Fonction racine carrée | |||
| Fonction inverse | |||
| Fonction valeur absolue | $f(x) = | x | $ |
Opérations sur les fonctions
1. Somme, produit, quotient
Si et sont deux fonctions définies sur un même domaine, on peut définir :
- (avec )
2. Composition de fonctions
La composition est définie par :
Le domaine de est l’ensemble des tels que est dans le domaine de et dans le domaine de .
Propriétés importantes
1. Fonction paire et fonction impaire
- Fonction paire : pour tout du domaine. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Fonction impaire : pour tout du domaine. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
2. Fonction croissante et décroissante
- Croissante :
- Strictement croissante :
- Décroissante :
Résolution d’équations et inéquations avec une fonction
- Résoudre revient à trouver les antécédents de par .
- Résoudre ou revient à étudier les valeurs de pour lesquelles l’image est inférieure ou supérieure à .
- La résolution peut se faire graphiquement (intersection avec la droite ) ou algébriquement.
Notion d’antécédent et image
- Image : pour donné, est l’image.
- Antécédent : pour donné, un antécédent est un tel que .
Une fonction peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents pour une même image.
Fonction inverse (réciproque)
- Une fonction est inversible si elle est bijective (injective + surjective).
- La fonction inverse vérifie :
- Graphiquement, la courbe de est la symétrique de celle de par rapport à la droite .
Exercices types à maîtriser
- Déterminer le domaine de définition d’une fonction.
- Calculer l’image d’un nombre donné.
- Trouver les antécédents d’une valeur donnée.
- Étudier la parité et la monotonie d’une fonction.
- Tracer la courbe d’une fonction simple à partir de sa formule ou d’un tableau.
- Résoudre une équation ou inéquation du type ou .
- Composer deux fonctions et déterminer leur domaine.
Une fonction est un outil fondamental pour modéliser une relation entre deux quantités, et comprendre ses propriétés permet de résoudre de nombreux problèmes mathématiques.