Limites de fonctions

1. Comportement asymptotique d'une fonction

a) Limite finie quand $x \to +\infty$

• Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$ avec $l \in \mathbb{R}$, alors la droite d'équation $y = l$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$.

b) Limite infinie en un point fini

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe.
• On peut distinguer les limites à gauche et à droite :
  • $\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$
  • $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$

c) Limite infinie quand $x \to +\infty$

• Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (ou $-\infty$), on dit que la fonction tend vers l'infini (ou moins l'infini) en $+\infty$.

À retenir :

• Une limite finie en $+\infty$ correspond à une asymptote horizontale.
• Une limite infinie en un point $a$ correspond à une asymptote verticale en $x = a$.
• Une limite infinie en $+\infty$ signifie que la fonction croît (ou décroît) sans borne.

1. Limites des fonctions de référence

a) Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$

• Domaine : $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
• Limites importantes :

  Limite	$x \to 0^+$	$x \to 0^-$	$x \to +\infty$	$x \to -\infty$
  $\lim f(x)$	$+\infty$	$-\infty$	$0^+$	$0^-$

• Asymptotes :
  • Verticale en $x=0$
  • Horizontale en $y=0$ (au voisinage de $\pm \infty$)

b) Fonction carrée : $f(x) = x^2$

• Domaine : $\mathbb{R}$
• Limite :
  $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$

c) Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$

• Domaine : $[0, +\infty[$
• Limite :
  $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

d) Fonction exponentielle : $f(x) = e^x$

• Domaine : $\mathbb{R}$
• Limites :
  $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
  $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• Asymptote horizontale : $y=0$ au voisinage de $-\infty$

e) Fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln x$

• Domaine : $]0, +\infty[$
• Limite :
  $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

2. Calcul de limites : règles de base

Soient $f$ et $g$ deux fonctions avec limites connues en $x$ (réel ou $+\infty$), et $l$, $l'$ leurs limites respectives.

• Limite d’une somme :
  $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = l + l'$
  (si les deux limites existent et sont finies)

• Limite d’un produit :
  $\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) = l \times l'$
  (si les deux limites existent et sont finies)

À retenir : Les limites des fonctions de référence sont des outils fondamentaux pour étudier le comportement des fonctions plus complexes en leurs points critiques ou à l’infini.

1. Limites à l'infini et opérations sur les limites

• Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = l'$, alors
  $\lim_{x \to +\infty} (f(x) + g(x)) = l + l'$
  avec les cas suivants :

  $l$	$l'$	$\lim (f+g)$	Remarque
  fini (F.I.)	fini (F.I.)	fini (F.I.)	somme de limites finies
  0	$+\infty$	$+\infty$
  $+\infty$	fini (F.I.)	$+\infty$
  0	$-\infty$	0
  $+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	forme indéterminée
  0	$-\infty$	0

2. Exemple simple

• $f(x) = (x - 3) \sqrt{x}$, définie sur $\mathbb{R}^+$
• $\lim_{x \to +\infty} (x - 3) = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
• Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

3. Limite à l'infini des fonctions polynomiales et rationnelles

a) Limite d'une fonction polynôme

• La limite à $+\infty$ d'un polynôme est la même que celle de son terme de plus haut degré.
• Pour $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$,
  $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$
  $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} 3x^2 = +\infty$

b) Limite à l'infini d'une fonction rationnelle

• La limite à $+\infty$ d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.

• Exemple : $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 4}$
  $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2}{x^2 + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2}{x^2} = 5$

• Pour une fonction rationnelle avec un point d'indétermination, par exemple $f(x) = \frac{1}{3 - x}$, on étudie la limite en approchant la valeur interdite :

  $x \to 3^-$	$3 - x \to 0^+$	$\lim f(x) = +\infty$
  $x \to 3^+$	$3 - x \to 0^-$	$\lim f(x) = -\infty$

À retenir :
La limite à l'infini d'un polynôme est déterminée par son terme dominant.
La limite à l'infini d'une fonction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré.